μ算子

在下文中，为了节省空间使用粗体字 x 来表示字符串 x_i, . . ., x_n。

有界μ算子可以非常简单的用两个原始递归函数（简写为"prf"）来表达，它们是项的积 Π 与项的和 Σ，还被用来定义 CASE 函数 (cf Kleene #B page 224)。（按照需要，变量的任何界限比如 s≤t 或 t<z 或 5<x<17 等都是适当的）。例如：

• Π_s≤t f_s (x, s) = f₀(x, 0) * f₁(x, 1) * . . . * f_t(x, t)
• Σ_t<z g_t ( x, t ) = g₀( x, 0 ) + g₁(x, 1 ) + . . . + g_z-1(x, z-1 )

我们先要介入叫做谓词 R 的表示函数的一个函数ψ。函数 ψ 定义为从输入（t= "真", f="假"）到输出 ( 0, 1 ) 的映射（注意次序!）。在这种情况下给 ψ 的输入 { t, f } 来自 R 的输出：

• ψ( R = t ) = 0
• ψ( R = f ) = 1

Kleene 展示了μy_y<z R(y)的如下定义；我们看到积函数 Π 充当了布尔 AND 算子，而和函数 Σ 充当布尔 OR 算子，不同的是它生成 { Σ≠0, Σ=0 } 而不是 { 1, 0 }:

μy _y<z R(y) = Σ_t<z Π_s≤t ψ( R( x ,t ,s )) =

• [ ψ( x, 0, 0 ) ] +
• [ ψ( x, 1, 0 ) * ψ( x, 1, 1 ) ] +
• [ ψ( x, 2, 0 ) * ψ( x, 2, 1 ) * ψ( x, 2, 2 ) ] +
• . . . . . . +
• [ ψ( x, z-1, 0 ) * ψ( x, z-1, 1 ) * ψ( x, z-1, 2 ) + . . . + ψ ( x, z-1, z-1 ) ]

和 Σ 实际上是带有基础步骤 Σ(x, 0) = 0 和归纳步骤 Σ(x, y+1 ) = Σ( x, y ) + Π( x, y ) 的原始递归。积 Π 是带有基础步骤 Π( x, 0 ) = ψ( x, 0 ) 和归纳步骤 Π( x, y+1 ) = Π( x, y )*ψ( x, y+1 ) 的原始递归。

通过 Kleene 给出例子很容易理解这个等式。他只为指示函数 ψ（R(y)）构建了表格。他用表示函数 χ(y) 简写 ψ( x, y ):

无界μ算子 -- 函数 μy -- 经常定义于教科书中。但是读者可能奇怪于为什么无界μ算子查找生成零而不是某个其他自然数的函数 R(x, y) -- 现代教科书没有给出原因。

在脚注中 Minsky 的确允许他的算子在内部过程生成一个对参数 "k" 的匹配的时候终止；这个例子也是有用的因为它展示了另一个作者的格式：

" For μ_t[ φ(t) = k ] "(p. 210)

使用零的原因是无界算子μy将依据其索引 y 允许随着μ算子的查找而增长的函数"积" Π 来定义。如上述例子提及的，一串数ψ(x, 0) *, . . ., * ψ(x, y)的积 Π _x<y 生成零，只要它的成员 ψ(x, i) 之一为零：

Π_s<y = ψ(x, 0) * , . . ., * ψ(x, y) = 0

如果任何 ψ(x, i)=0 这里的 0 ≤ i ≤ s。所以 Π 充当了布尔 AND。

函数μy生成作为"输出"的一个单一的自然数 y = { 0, 1, 2, 3 ... }。但是，在算子内可能出现一对“情况”之一：(a) "数论函数" χ 生成一个自然数，或(b) "谓词" 生成 { t= true, f = false }。（在偏递归函数的上下文中 Kleene 后来允许第三种结果："μ = 不可判定", pp. 332ff）。

Kleene 分解他的无界μ算子定义来处理这两种情况 (a) 和 (b)。对于情况 (b)，在谓词 R(x, y) 可以参于积 Π 的算术运算之前，它的输出 { t, f } 必须首先被它的“表示函数”χ运算生成 { 0, 1 }。而对于情况 (a)，如果要使用一个定义，则“数论函数” χ 必须生成零来满足μ算子。通过这个问题的确立，他展示了一个单一的"Proof III"，任何类型 (a) 或 (b) 与五个原始递归函数一起产生（全）递归函数 ... 带有对全函数的限制：

对于所有参数 x，必须提供一个证明证实存在一个 y 满足 (a) μy ψ(x, y) 或 (b) μy R(x,y)。

Kleene 还有第三个情况 (c) 不要求证明对于所有 x 存在一个 y 使得 ψ(x, y)。他在他的全递归函数要比可枚举的函数要多的证明中用到了它。

Kleene 的证明是非形式的并使用了类似第一例子的例子。他首先把μ算子强制为运算于生成自然数 n 的χ函数上的“项的积”的不同形式， 这里的 n 可以是任何自然数，而 0 在 u 算子的测试被满足的时候出现。

使用 Π 函数的重新定义：

μy _y<zχ(y) =

• (i): π(x, y) = Π_s<y χ( x, s)

• (ii): φ(x) = τ( π(x, y), π( x, y' ), y)
• (iii): τ(z', 0, y) = y ;τ( u, v, w ) 是对 u = 0 或 v > 0 未定义的。

这是微妙的。在第一眼看来这些等式好像使用了原始递归。但是 Kleene 仍未提供通用形式的基本步骤或归纳步骤：

• 基本步骤：φ( 0,x ) = φ( x )
• 归纳步骤：φ( 0,x ) = ψ（ y, φ(0,x), x）接下来如何？首先，我们提醒自己我们已经指派一个参数（自然数）到所有变量 x_i。其次，我们确实看到一个后继算子在做迭代 y（就是 y'）的工作。第三，我们看到函数 μy _y<zχ(y, x) 正好生成 χ(y,x) i.e. χ(0,x), χ(1,x), ... 的实例，直到一个实例生成 0。第四，在一个实例 χ(n,x) 生成 0 的时候，它导致τ的中间项，就是 v = π( x, y' ) 生成 0。最后，当中间项 v = 0 的时候，μy _y<zχ(y) 执行行 (iii) 并“退出”。Kleene 的等式 (ii) 和 (iii) 的表述已经作出了交易使行 (iii) 表示退出 -- 退出只在查找成功的找到一个 y 满足 χ(y) 并且中间项 π(x, y' ) 为零的时候发生；算子接着终止查找于 τ(z', 0, y) = y。

τ( π(x, y), π( x, y' ), y), i.e.:

• τ( π(x, 0), π( x, 1 ), 0),
• τ( π(x, 1), π( x, 2 ), 1)
• τ( π(x, 2), π( x, 3 ), 2)
• τ( π(x, 3), π( x, 4 ), 3)
• . . . .。直到出现一个匹配于 y=n 并接着：
• τ(z', 0, y) = τ(z', 0, n) = n 并且μ算子的查找结束。

对于 Kleene 的例子，"...考虑 x_i, ... x_n 的任何固定值并简写 "χ(x_i, ... x_n,y)" 为 "χ(y)":

Minsky (1967) p. 21 和 Boolos-Burgess-Jeffrey (2002) p. 60-61 都提供了μ算子的抽象机定义。

下列示范跟从 Minsky 但不带有其怪癖。这个示范将使用密切关于皮亚诺公理和原始递归函数的"后继"计数器机模型。模型由（i）带有指令的表格和我们重命名为“指令寄存器”（IR）的所谓“状态寄存器”的有限状态自动机，（ii）每个都可以只包含一个单一自然数的一些寄存器，和（iii）在下列表格中描述的四个“命令”的指令集：

在下面，符号 " [ r ] " 意味着" r 的内容"，而 " →r " 指示关于寄存器 r 的一个动作。

给极小化算子μy [φ( x, y )] 的算法在本质上建立函数φ( x, y ) 的一个实例序列，随着参数 y 的值（自然数）增加；这个处理将继续（见下面的注释 †）直到在函数φ( x, y ) 的输出和某个预先确立的数（通常为 0）之间的匹配出现。所以 φ(x, y) 的求值需要在最开始时指派一个自然数到 x 的每个变量，指派一个“匹配数”（通常为 0）到一个寄存器 "w"，一个数（通常为 0）到寄存器 y。

注释 †：无界μ算子将继续这个尝试匹配过程直到匹配发生或永远。所以 "y" 寄存器必须是无界的 -- 它必须能够持有任意大小的数。不像真实计算机模型，抽象机模型允许如此。在有界μ算子的情况下，下界μ算子将开始于 y 的内容被设置为不是零的一个数。上界μ算子将要求一个额外的寄存器"ub"来包含表示这个上界的数加上一个额外比较运算；一个算法可以同时提供下界和上界。

在下面我们假定指令寄存器 (IR) 遇到了在指令号 "n" 的μy“例程”。它的第一个动作将是在专用的 "w" 寄存器确立一个数 -- 函数 φ( x, y ) 在算法可以终止之前必须生成的数的“例子”（典型的是数零，但也可以使用不是零的数）。算法的在 "n+1" 指令的下一个动作将是清除 "y" 寄存器 -- "y" 将充当开始于 0 的“上升寄存器”。接着在 "n+2" 指令算法求值它的函数 φ( x, y ) -- 我们假定将取用 j 指令来完成 -- 在它的求值φ( x, y ) 的结束处放置它的输出在寄存器"φ"中。在 n+j+3rd 指令算法比较在 "w" 寄存器中的数（比如 0）与在 "φ" 寄存器内的数 -- 如果它们是相同的，则算法成功并通过“exit”退出；否则它增加 "y" 寄存器的内容并回到“loop”再次用新的 y 值去测试函数 φ( x, y )。