交集

A和${\displaystyle B}$的交集

交集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 ${\displaystyle A\cap B}$ ：

${\displaystyle (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cap B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\wedge (x\in B)\right]\right\}}$

也就是直觀上：

${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集写作「${\displaystyle A\cap B}$」，「對所有 ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle x\in A\cap B}$ 等價於 ${\displaystyle x\in A}$ 且 ${\displaystyle x\in B}$」

例如：集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$和${\displaystyle \{2,3,4\}}$的交集为${\displaystyle \{2,3\}}$。数字${\displaystyle 9}$不属于素数集合${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}}$和奇数集合${\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}}$的交集。

若两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集为空，就是说它们彼此没有，则他们不相交，写作：${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$。例如集合${\displaystyle \{1,2\}}$和${\displaystyle \{3,4\}}$不相交，写作${\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing }$。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合${\displaystyle A,B}$，${\displaystyle C}$和${\displaystyle D}$的交集为${\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))}$。交集运算满足结合律。即：

${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}$

以上定義可根據无限并集和补集來推廣到任意集合的交集。

取一个集合 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ，則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合：

${\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}:=\left\{A\,|\,(\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})\right\}}$。

也就是直觀上蒐集所有 ${\displaystyle M^{c}}$ 的集合， 這樣的話有：

${\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists A)[(x\in A)\wedge (\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})]}$

根據一阶逻辑的定理(Ce)，也就是：

${\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M)[(M\in {\mathcal {M}})\wedge (x\notin M)\wedge (\exists A)(A=M^{c})]}$

但根據一阶逻辑的等式相關定理，下式：

${\displaystyle (\exists A)(A=M^{c})}$

顯然是個定理（也就是直觀上為真），故：

${\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M\in {\mathcal {M}})(x\notin M)}$

換句話說：

${\displaystyle x\in {\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}\Leftrightarrow (\forall M\in {\mathcal {M}})(x\in M)}$

那可以做如下的符號定義：

${\displaystyle \bigcap {\mathcal {M}}:={\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}}$

稱為 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 的任意交集或无限交集。也就是直觀上「對所有 ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {M}}}$ 等價於對任何 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 的下屬集合 ${\displaystyle M}$ ，都有 ${\displaystyle x\in M}$」

例如：

${\displaystyle A\cap B=\bigcap \{A,\,B\}}$

類似於无限并集，无限交集的表示符號也有多種

可模仿求和符号記為

${\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {M}}}A}$。

但大多數人會假設指标集 ${\displaystyle I}$ 的存在，換句話說

若 ${\displaystyle I\,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}}$ 則 ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}}$

在指标集 ${\displaystyle I}$ 是自然数系 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說：

若 ${\displaystyle \mathbb {N} \,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}}$ 則 ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}}$

也可以更粗略直觀的將 ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i)}$ 写作${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots }$。

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