一元二次方程

把一个关于 ${\displaystyle x}$ 一元二次方程变形成一般形式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 后，如果 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$存在两个实根${\displaystyle x_{1},x_{2}}$，那么它可以因式分解为${\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0}$。

例如，解一元二次方程${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$时，可将原方程左边分解成${\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0}$，所以${\displaystyle x-1=0\quad x-2=0}$，可解得${\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=2}$

对于${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)}$，若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0}$，则它的两个不等实数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0}$，则它的两个相等实数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0}$，则它的两个共轭复数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}$。

公式解可以由配方法得出。

已知关于 ${\displaystyle x}$ 的一元二次方程 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,\,a\neq 0}$

①移项，得：

${\displaystyle ax^{2}+bx=-c}$；

②二次项系数化为 ${\displaystyle 1}$，得：

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}$；

③配方，得：

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}}$，

${\displaystyle {\biggl (}x+{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$；

因为 ${\displaystyle a\neq 0}$，所以

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0}$，则它的两个不等实数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0}$，则它的两个相等实数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0}$，则它的两个共轭复数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}$。

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

公式中的根式${\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為${\displaystyle b^{2}-4ac}$的數當中任何一個」。在某些数域中，有些数值没有平方根。

对于实系数一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}$，${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

• 如果${\displaystyle \Delta >0}$，则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数，且${\displaystyle \Delta }$是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。

• 如果${\displaystyle \Delta =0}$，则這个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$

• 如果${\displaystyle \Delta <0}$，则这个一元二次方程有两个不等的复数根，两根互为共轭复数。这时两根分别为${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}$，其中 ${\displaystyle {\text{i}}={\sqrt {-1}}}$。

即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。

$${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}$$

$${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}$$

${\displaystyle {\color {Red}{}\Delta >0}}$，则该函数与x轴相交（有两个交点）
${\displaystyle {\color {Blue}{}\Delta =0}}$，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
${\displaystyle {\color {Green}{}\Delta <0}}$，则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的根的几何意义是二次函数${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$的图像（为一条抛物线）与 ${\displaystyle x}$ 轴交点的坐标，即二次函数的零点。

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的解是${\displaystyle y=x^{2}}$和${\displaystyle y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}}$交點的X座標

另外一种解法是把一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$化为${\displaystyle x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}$ 的形式。

则方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的根，就是函数${\displaystyle y=x^{2}}$和${\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}$交点的横坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$$

可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)