一致连续

一个从紧致度量空间到度量空间的连续函数是一致连续的。

设函数${\displaystyle f:X\to Y}$，${\displaystyle (X,d_{1})}$为紧致度量空间，${\displaystyle (Y,d_{2})}$为度量空间。

假设${\displaystyle f}$不是一致连续的，則存在一個${\displaystyle \epsilon >0}$，对于任意${\displaystyle n}$都存在${\displaystyle x_{n},y_{n}}$满足条件${\displaystyle d_{1}(x_{n},y_{n})<{\tfrac {1}{n}}}$并且${\displaystyle d_{2}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \epsilon }$。

因为${\displaystyle X}$为紧致度量空间，${\displaystyle X}$是序列紧致的，所以存在一个${\displaystyle (x_{n})}$的收敛子序列${\displaystyle (x_{k_{n}})}$，设其收敛到${\displaystyle x}$。

${\displaystyle d_{1}(x_{k_{n}},y_{k_{n}})<{\tfrac {1}{k_{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}\to 0}$，所以${\displaystyle (y_{k_{n}})\to x}$。

因为${\displaystyle f}$连续，${\displaystyle \epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0}$，矛盾，定理得证。