一階保持

理想取樣訊號x_s(t).

一階保持是利用假想的濾波器或是線性時不變系統，將理想的取樣訊號

${\displaystyle x_{s}(t)\,}$	${\displaystyle =x(t)\ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\ }$
	${\displaystyle =T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\ }$

分段連續信號x_FOH(t).

轉換為分段線性的訊號。

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\ }$

一階保持的冲激响应h_FOH(t)（非因果）

所得到的等效冲激响应為

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$

其中${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$ 是三角形函数

等效頻率響應是冲激响应的傅里叶变换

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(f)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\ }$
	${\displaystyle =\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\ }$

其中${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\ }$是正規化的Sinc函数。

可以令s = i 2 π f，得到FOH传递函数的拉普拉斯变换：

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(s)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\right)^{2}\ }$

因為一階保持濾波器的衝激響應在t小於0時就已有值，因此此系統是反因果系統。

有延遲的分段連續信號 x_FOH(t).

延遲一階保持（Delayed first-order hold）有時也稱為因果一階保持（causal first-order hold）和一階保持相同，但輸出會延遲一個取樣週期才輸出，因此會有延遲的分段連續信號

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-T-nT}{T}}\right)\ }$

因果一階保持的衝激響應h_FOH(t).

其等效冲激响应為

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t-T}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t-T|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t-T|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$

其中${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$為三角形函数.

等效頻率響應是冲激响应的傅里叶变换

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(f)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\ }$
	${\displaystyle =e^{-i2\pi fT}\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\ }$

可以令s = i 2 π f，得到FOH传递函数的拉普拉斯变换：

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(s)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\right)^{2}\ }$

延遲一階保持為因果系统。冲激响应在t小於0時沒有值。

這類的延遲一階保持可以用增益為H(z) = 1 − z⁻¹的数字滤波器，將数字滤波器（x[n]−x[n−1]）的輸出送到傳統的數位類比轉換器（本質上是零階保持），再用H(s) = 1/(sT)來積分DAC的輸出。

預測型的分段連續信號x_FOH(t).

預測型一階保持（predictive first-order hold）和上二一個一階保持的差異較大，預測型一階保持是因果系統的假想線性時不變系統，可以將理論取樣信號

${\displaystyle x_{s}(t)\,}$	${\displaystyle =x(t)\ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\ }$
	${\displaystyle =T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\ }$

轉換為分段線性輸出信號，會用目前取樣以及上一次的取様來線性外推下一個取樣點，此濾波器的輸出為

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,}$	${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(x(nT)+\left(x(nT)-x((n-1)T)\right){\frac {t-nT}{T}}\right)\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\ }$
	${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\left(\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)-\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {3}{2}}\right)+\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}-1\right)\right)\ }$

預測型一階保持的衝激響應h_FOH(t).

其等效冲激响应為

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\left(\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)-\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {3}{2}}\right)+\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}-1\right)\right)\ }$
	${\displaystyle ={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1+{\frac {t}{T}}\right)&{\mbox{if }}0\leq t<T\\{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {t}{T}}\right)&{\mbox{if }}T\leq t<2T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$

其中${\displaystyle \mathrm {rect} (x)\ }$為矩形函数，而${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$為三角形函数。

等效頻率響應為衝激響應的傅里叶变换。

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(f)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =(1+i2\pi fT)\left({\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\ }$
	${\displaystyle =(1+i2\pi fT)e^{-i2\pi fT}\mathrm {sinc} ^{2}(fT))\ }$

其中${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\ }$為Sinc函数。

可以令s = i 2 π f，得到FOH傳遞函數的拉普拉斯变换]：

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(s)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =(1+sT)\left({\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\right)^{2}\ }$

此為因果系统。預測型一階保持的衝激響應不會在輸入脈衝之前就出現。

這種分段線性的重建信號方式可以用增益H(z) = 1 − z^{−1</sup的数字滤波器來實現，將數位濾波器的輸出（就是x[n]−x[n−1]）接到理想的傳統數位類比轉換器（其本質上是零階保持），將其輸出接到類比濾波器，其傳遞函數為H(s) = (1+sT)/(sT)。}

• 采样定理
• 零階保持
• 双线性插值

• Zero order hold and first order hold based interpolation（页面存档备份，存于）