十二律

在聲學中，聲高指物體振動的頻率。取一簡單物體用來定音高時（如竹管、絲絃），則它的頻率與其長度是成反比的關係。如果物體的材質固定，長度愈長，聲音愈低。

除此之外，當長度減為一半時，頻率將變為原先的兩倍；長度增成為原先的兩倍時，頻率成為原先的一半。將這種互為二倍數的特殊比例，定義為彼此互為「八度音」。由此，便可以從九九八十一的長度出發，試算前述藉由「三分損益」求得的長度，所得到的十二律（宫调）：

黃鐘（C）：${\displaystyle 81}$ (n = 0)

林鐘（G，由黃鐘三分損而來）：${\displaystyle {81\times {\frac {2}{3}}}=54}$ (n = 0 + 7 = 7)

太簇（D，由林鐘三分益而來）：${\displaystyle {54\times {\frac {4}{3}}}=72}$ (n = 7 - 5 = 2)

南呂（A，由太簇三分損而來）：${\displaystyle {72\times {\frac {2}{3}}}=48}$ (n = 2 + 7 = 9)

姑冼（E，由南呂三分益而來）：${\displaystyle {48\times {\frac {4}{3}}}=64}$ (n = 9 - 5 = 4)

應鐘（B，由姑冼三分損而來）：${\displaystyle {64\times {\frac {2}{3}}}=42{\frac {2}{3}}\approx 42.66666666667}$ (n = 4 + 7 = 11)

蕤賓（F#，由應鐘三分益而來）：${\displaystyle {42{\frac {2}{3}}\times {\frac {4}{3}}}=56{\frac {8}{9}}\approx 56.88888888889}$ (n = 11 - 5 = 6)

大呂（C#，由蕤賓三分益而來）：${\displaystyle {56{\frac {8}{9}}\times {\frac {4}{3}}}=75{\frac {23}{27}}\approx 75.85185185185}$ (n = 6 - 5 = 1)

夷則（G#/Ab，由大呂三分損而來）：${\displaystyle {75{\frac {23}{27}}\times {\frac {2}{3}}}=50{\frac {46}{81}}\approx 50.56790123457}$ (n = 1 + 7 = 8)

夾鐘（D#/Eb，由夷則三分益而來）：${\displaystyle {50{\frac {46}{81}}\times {\frac {4}{3}}}=67{\frac {103}{243}}\approx 67.42386831276}$ (n = 8 - 5 = 3)

無射（A#/Bb，由夾鐘三分損而來）：${\displaystyle {67{\frac {103}{243}}\times {\frac {2}{3}}}=44{\frac {692}{729}}\approx 44.9492455418381344307}$ (n = 3 + 7 = 10)

仲呂（F，由無射三分益而來）：${\displaystyle {44{\frac {692}{729}}\times {\frac {4}{3}}}=59{\frac {2039}{2187}}\approx 59.93232738911751257430269776}$ (n = 10 - 5 = 5)

清黃鐘（黃鐘的高八度音，由仲呂三分損而來）：${\displaystyle {59{\frac {2039}{2187}}\times {\frac {2}{3}}}=39{\frac {6265}{6561}}\approx 39.954884926078341716201798506254}$ (n = 5 + 7 = 12)

• 注意，最後一個「清黃鐘」的長度39.9548849，與直接取「黃鐘」長度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，這就是「黃鐘不能還原」的問題。因為在連乘十二次 2/3 或 4/3 後，最後的值不可能達到原始的 1/2。${\displaystyle {\frac {2^{6}\times 4^{6}}{3^{12}}}\approx 0.49327018427257211995310862353488}$
• 另外，若在定律時不斷地使用三分損益的操作，最後一定會出現除不盡的小數，使得在實際製作時容易產生誤差。然而在現實上，準確度（Accuracy）與精密度（Precision）絕對有其極限，所以經過十二次的三分損益之後，已經可以構成一個（不甚完美）的音階循環。這也是為何中西音樂理論中，都不約而同地發展出以「12音階」為主流的原因。之後才會出現如純律、十二平均律等不同的改進或修正方法。

维基文库中的相关原始文献：夢溪筆談 卷八 象數二

從上面所計算出來的結果，對照《史記·律書》中的文字，便可發現當中的抄錄錯誤。宋代沈括的《夢溪筆談》，便記載了《律書》當中出現「七分」之類的文字，當為「十分」的誤寫。因此原文中的黃鐘「八寸七分一」為「八寸十分一、81分」才合理。以下列出古音十二律與史記的文字記載比較，並附上與西方「參考音名」與「十二平均律的誤差」計算。

若不照音高排列，而是如上表照三分损益法排列十二律，则会发现其顺序与五度圈自C开始往顺时钟方向的音位排列恰巧一样。