三次互反律

三次互反律最常使用艾森斯坦整数进行表述。艾森斯坦整数是指由形如 ${\displaystyle a+b\,\omega }$ 的复数组成的环，记作 ${\displaystyle \mathbb {E} }$。其中 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 是整数，${\displaystyle \omega }$ 为三次单位根：

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

如果 ${\displaystyle \pi }$ 是${\displaystyle \mathbb {E} }$中范数为 ${\displaystyle P}$ 的一个 素数。${\displaystyle \alpha }$ 与 ${\displaystyle \pi }$ 互素。定义三次剩余符号${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}}$ 为一个三次单位根，并满足

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\ \equiv \ \alpha ^{(P-1)/3}\mod \pi .}$

再定义“原初”素数是模${\displaystyle 3}$同余于${\displaystyle -1}$的素数。由于每个素数在乘以${\displaystyle \mathbb {E} }$中的一个单位元后都会成为“原初”素数，因此关于“原初”素数的定律仍具有普遍性。这时，三次互反律说明，对两个不同的“原初”素数 ${\displaystyle \pi }$ 和 ${\displaystyle \theta }$，有

${\displaystyle \left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}}$

此外有辅助定理：如果 ${\displaystyle \pi =-1+3(m+n\omega )}$ 那么：

${\displaystyle \left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m+n}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{2m}}$。

由于

${\displaystyle \left({\frac {\theta \phi }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}\left({\frac {\phi }{\pi }}\right)_{3}}$

因此可以计算任意艾森斯坦整数的三次剩余。

• 二次互反律
• 阿廷互反律

• David A. Cox, Primes of the form ${\displaystyle x^{2}+ny^{2}}$, Wiley, 1989, ISBN 0-471-50654-0.
• K. Ireland and M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics 84, Springer-Verlag, 1990.
• Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein, Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66957-4.

• planetmath上的资料