三线性插值

• 三线性插值在一次 ${\displaystyle n=1}$ 三维 ${\displaystyle D=3}$（双线性插值的维数为：${\displaystyle D=2}$，线性插值：${\displaystyle D=1}$）的参数空间中进行运算，这样就需要 ${\displaystyle (1+n)^{D}=8}$ 个与所需插值点相邻的数据点。
• 三线性插值等同于三维张量的一阶B样条插值。
• 三线性插值运算是三个线性插值运算的张量积。

在一个步距为 1 的周期性立方网格上，取

${\displaystyle x_{d},y_{d},z_{d}}$

为待计算点距离小于

${\displaystyle x,y,z}$,

的最大整数的差值，即，

${\displaystyle x_{d}=x-\lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle y_{d}=y-\lfloor y\rfloor }$

${\displaystyle z_{d}=z-\lfloor z\rfloor }$

${\displaystyle x_{d}}$,:${\displaystyle y_{d}}$,:${\displaystyle z_{d}}$是单位化后的值，所以其范围是[0,1]。

本句话参考http://paulbourke.net/miscellaneous/interpolation/（页面存档备份，存于）

首先沿着 ${\displaystyle z}$ 轴插值，得到：

${\displaystyle i_{1}=v[\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ,\lfloor z\rfloor ]\times (1-z_{d})+v[\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ,\lceil z\rceil ]\times z_{d}}$

${\displaystyle i_{2}=v[\lfloor x\rfloor ,\lceil y\rceil ,\lfloor z\rfloor ]\times (1-z_{d})+v[\lfloor x\rfloor ,\lceil y\rceil ,\lceil z\rceil ]\times z_{d}}$

${\displaystyle j_{1}=v[\lceil x\rceil ,\lfloor y\rfloor ,\lfloor z\rfloor ]\times (1-z_{d})+v[\lceil x\rceil ,\lfloor y\rfloor ,\lceil z\rceil ]\times z_{d}}$

${\displaystyle j_{2}=v[\lceil x\rceil ,\lceil y\rceil ,\lfloor z\rfloor ]\times (1-z_{d})+v[\lceil x\rceil ,\lceil y\rceil ,\lceil z\rceil ]\times z_{d}.}$

然后，沿着 ${\displaystyle y}$ 轴插值，得到：

${\displaystyle w_{1}=i_{1}(1-y_{d})+i_{2}y_{d}}$

${\displaystyle w_{2}=j_{1}(1-y_{d})+j_{2}y_{d}}$

最后，沿着 ${\displaystyle x}$ 轴插值，得到：

${\displaystyle IV=w_{1}(1-x_{d})+w_{2}x_{d}.}$

这样就得到该点的预测值。

三线性插值的结果与插值计算的顺序没有关系，也就是说，按照另外一种维数顺序进行插值，例如沿着 ${\displaystyle x}$、 ${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$ 顺序插值将会得到同样的结果。这也与张量积的交换律完全一致。

• 插值
• 线性插值
• 双立方插值

• 伪代码（页面存档备份，存于）
• 形象化的例子