三角多项式

一个函数T如果能够写成：

${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\mathrm {i} \sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )}$

的形式，其中对于所有的${\displaystyle 0\leq n\leq N}$，a_n 和 b_n都是复数，那么就称其为N阶复三角多项式[1][2]。运用欧拉公式，这个函数可以写为：

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nx}\qquad (x\in \mathbf {R} ).}$

同样地，如果对于所有的${\displaystyle 0\leq n\leq N}$，a_n 和b_n都是实数的话，那么函数t

${\displaystyle t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )}$

就被称N阶实三角多项式[2]。

${\displaystyle \scriptstyle \cos n\theta \,}$是关于${\displaystyle \scriptstyle \cos \theta \,}$的n 次多项式。

${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,}$

实际上，这种多项式称为第一类切比雪夫多项式。同样地，${\displaystyle \scriptstyle \sin n\theta \,}$也是关于${\displaystyle \scriptstyle \cos \theta \,}$和${\displaystyle \scriptstyle \sin \theta \,}$的n 次多项式，称为第二类切比雪夫多项式。

${\displaystyle \sin(\theta )U_{n}(\cos(\theta ))=\sin((n+1)\theta )\,}$

因此，一个三角多项式实际上也可以认为是关于三角函数${\displaystyle \scriptstyle \cos \theta \,}$和${\displaystyle \scriptstyle \sin \theta \,}$的多项式。

三角多项式都是周期为${\displaystyle \scriptstyle 2\pi \,}$的周期函数。同时，任何连续的周期函数都可以借助于三角多项逼近到任意接近的程度。

1. Rudin, Walter, 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR924157
2. Powell, Michael J. D., , Cambridge University Press, 1981, ISBN 978-0-521-29514-7