三角不等式

在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BC}}\geq {\overline {AC}}}$。

当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）[1]

现在，我们有三角形ABC。延长${\displaystyle {\overline {AB}}}$至点D，并使${\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {BC}}}$，联结${\displaystyle {\overline {DC}}}$。

那么，三角形BCD为等腰三角形，所以${\displaystyle \angle BDC=\angle BCD}$。记它们均为${\displaystyle \alpha }$。

根据欧几里得第五公设，角${\displaystyle \beta }$也就是${\displaystyle \angle ACD}$大于角${\displaystyle \alpha }$（${\displaystyle \angle BCD}$，也就是${\displaystyle \angle BDC}$）；

由于角${\displaystyle \beta }$对应边${\displaystyle {\overline {AD}}}$，角${\displaystyle \alpha }$对应边${\displaystyle {\overline {AC}}}$，因此${\displaystyle {\overline {AD}}>{\overline {AC}}}$（大角对大边，命题19）。[2]

又由于${\displaystyle {\overline {DB}}={\overline {BC}}}$，所以${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}}$，即证。

如果我们将该式左右各减去${\displaystyle {\overline {BC}}}$，便能得到${\displaystyle {\overline {AB}}>{\overline {AC}}-{\overline {BC}}}$，这便是三角不等式的另一种表达方法：三角形的两边之差小于第三边。

当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时${\displaystyle \left|a-b\right|\leq c\leq a+b}$，而a, b, c为三角形三边的长。

用向量的写法，这个不等式可以写成：

${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}$

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}}$，该式也可以写成：${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}$，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$的方向向量为${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$，向量${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$的方向向量为${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$，

那么因为${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}}$，得向量${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$的方向向量为${\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$。

因此，${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}+{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}$，${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|={\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}}}}$。

所以，${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|-\left|{\overrightarrow {AC}}\right|=2{\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}}}-2x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}}$。

而${\displaystyle (2{\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}}})^{2}=4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+4x_{1}^{2}y_{2}^{2}+4x_{2}^{2}y_{1}^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}}$，${\displaystyle (2x_{1}x_{2}+2y_{1}y_{2})^{2}=4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}}$，

两者相减再配方，得到${\displaystyle (2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1})^{2}}$，该式实际上是${\displaystyle (\left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|)^{2}-(\left|{\overrightarrow {AC}}\right|)^{2}}$的值。

当且仅当${\displaystyle x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}}$时，该式的值为0，而此时我们可以推出${\displaystyle x_{1}=kx_{2},y_{1}=ky_{2},k\in \Re }$，这说明${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle y_{1}}$和${\displaystyle y_{2}}$都是平行的。而由于${\displaystyle x_{1}}$，也就是向量${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$的终点和${\displaystyle x_{2}}$，也就是向量${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$的起点是相同的，显然${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$和${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用${\displaystyle y_{1}}$和${\displaystyle y_{2}}$平行也一样能够推出${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$和${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$共线。

其他任何情况，也就是${\displaystyle x_{1}y_{2}\neq x_{2}y_{1}}$时，该式取到不等号，适用于欧氏几何。

将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量，同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。