中線

考虑三角形ABC。设D为${\displaystyle {\overline {AB}}}$的中点，E为${\displaystyle {\overline {BC}}}$的中点，F为${\displaystyle {\overline {AC}}}$的中点，O为重心。

根据定义，${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}$，因此${\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]}$，其中${\displaystyle [ABC]}$表示三角形ABC的面积。

我们有：

${\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}$

${\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}$

因此，${\displaystyle [ABO]=[ACO]}$且${\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}$。

由于${\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}$，所以${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]}$。 同理，也可以证明${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]}$。

在${\displaystyle \triangle }$ABD中，${\displaystyle AD=m_{a}}$

${\displaystyle (m_{a})^{2}=(AB)^{2}+(BD)^{2}-2(AB)(BD)\cos \angle ABD}$（餘弦定理）

以a,b,c表示${\displaystyle \cos \angle ABD}$

${\displaystyle i.e.\ \cos \angle ABD={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}}$ & ${\displaystyle BD={\frac {a}{2}}}$

把以上兩等式代入原式，

${\displaystyle i.e.\ (m_{a})^{2}=(c)^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}-2(c)({\frac {a}{2}}){\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}}$

${\displaystyle =(c)^{2}+({\frac {a^{2}}{4}})-({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}})}$

${\displaystyle ={\frac {4c^{2}+a^{2}-2c^{2}-2a^{2}+2b^{2}}{4}}}$

${\displaystyle ={\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}$

∴${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$

同理，可證得其他二式

Q.E.D.