主定理

在演算法分析中，主定理（英語：）提供了用渐近符号（大O符号）表示许多由分治法得到的递推关系式的方法。这种方法最初由喬恩·本特利、多蘿西·布洛斯坦和詹姆斯·B·薩克斯在1980年提出，在那里被描述为解决这种递推的“天下無敵法”（Master method）。此方法经由经典演算法教科书托馬斯·H·科爾曼、查爾斯·E·雷瑟爾森、羅納德·李維斯特和克利福德·史坦的《算法导论》推广而为人熟知。

不过，并非所有递推关系式都可应用支配理论。该定理的推广形式包括阿克拉-巴茲方法。

支配理论

假设有递归关系式

T(n)=a\;T\!\left({\frac {n}{b}}\right)+f(n)

，其中

a\geq 1{\mbox{, }}b>1

其中， $n$ 为问题规模， $a$ 为递归的子问题数量， ${\frac {n}{b}}$ 为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样）， $f(n)$ 为递归以外进行的计算工作。

情形一

如果存在常数 $\epsilon >0$ ，有

$f(n)=O\left(n^{\log _{b}(a)-\epsilon }\right)$ （可不嚴謹的視作多项式地小于）

则

T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right)

情形二

如果存在常数 $\epsilon \geq 0$ ，有

f(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log ^{\epsilon }n\right)

则

T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log ^{\epsilon +1}n\right)

情形三

如果存在常数 $\epsilon >0$ ，有

f(n)=\Omega \left(n^{\log _{b}(a)+\epsilon }\right)

（多项式地大于）

同时存在常数 $c<1$ 以及充分大的 $n$ ，满足

af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)

则

T\left(n\right)=\Theta \left(f\left(n\right)\right)

常用演算法中的应用

演算法	递回关系式	运算时间	备注
二分搜尋演算法	$T(n)=T\left({\frac {n}{2}}\right)+\Theta (1)$	$\Theta (\log n)$	情形二（ $\epsilon =0$ ）
二叉树遍历	$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+\Theta (1)$	$\Theta (n)$	情形一
最佳排序矩阵搜索（已排好序的二维矩阵）	$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+O(\log n)$	$\Theta (n)$
合併排序	$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+\Theta (n)$	$\Theta (n\log n)$	情形二（ $\epsilon =0$ ）

参考文献

Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Sections 4.3 (The master method) and 4.4 (Proof of the master theorem), pp. 73–90.
Michael T. Goodrich and Roberto Tamassia. Algorithm Design: Foundation, Analysis, and Internet Examples. Wiley, 2002. ISBN 0-471-38365-1. The master theorem (including the version of Case 2 included here, which is stronger than the one from CLRS) is on pp. 268–270.

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