酉矩阵

在線性代數中，么正矩陣（又译作，英語：unitary matrix）指其共軛轉置恰為其逆矩陣的複數方陣，數學描述如下：

（數學定義）

U^{*}U=UU^{*}=I_{n}

，

（推論）

U^{-1}=U^{*}

。

其中 $U *$ 是 $U$ 的共軛轉置， $I n$ 是 $n \times n$ 單位矩陣。

么正矩陣是正交矩陣（元素均為實數）在複數的推廣。

例子

以下是一個酉矩陣的例子：

U={\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}

。

驗证如下：

U^{*}U={\begin{bmatrix}{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}

UU^{*}={\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}

從定義可知，么正矩陣滿足以下性質：

U^{*}U=UU^{*}=I_{n}

。

由此可見，么正矩陣與其共軛轉置 $U *$ 矩陣乘法可交換，是正規矩陣。

么正矩陣亦必定可逆，且逆矩陣等於其共軛轉置：

U^{-1}=U^{*}

。

么正矩陣 $U$ 的所有特徵值 $λ n$ ，都是絕對值等於 $1$ 的複數：

\left|\lambda _{n}\right|=1

。

因此，么正矩陣 $U$ 行列式的絕對值也是 $1$ ：

\left|\det(U)\right|=1

。

么正矩陣 $U$ 不會改變兩個複向量 $x$ 和 $y$ 的點積：

(U\mathbf {x} )\cdot (U\mathbf {y} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}

。

更一般地說，所有希爾伯特內積也不會改變：

\langle U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle

。

若 $U$ 及 $V$ 都是么正矩陣，则 $UV$ 也是么正矩陣：

(UV)^{*}(UV)=(UV)(UV)^{*}=I_{n}

。

若 $U$ 为 $n \times n$ 矩陣，則下列條件等價：

給定任意的 $n$ ，所有 $n$ 階么正矩阵的集合 $G$ 與矩陣乘法「 $\cdot$ 」，都能構成一個群 $(G, \cdot )$ 。

么正對角化（又译作，英語：unitary diagonalisation），指把一個矩陣 $A$ 對角化成以下形式：

A=UDU^{*}

，

其中 $U$ 是么正矩陣， $D$ 是對角矩陣。

根據譜定理，一個矩陣 $A$ 可么正對角化，當且僅當 $A$ 是正規矩陣，即它與其共軛轉置 $A *$ 矩陣乘法可交換（ $A * A = AA *$ ）。

由於么正矩陣本身也是一個正規矩陣，因此么正矩陣 $U$ 也可么正對角化：

U=V\Sigma V^{*}\;

，

其中 $V$ 是么正矩陣， $Σ$ 是對角矩陣。

Rowland, Todd. "Unitary Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/UnitaryMatrix.html （页面存档备份，存于）
Peter V. O'Neil（2012）。高等工程數學（第7版）。黃孟槺譯。華泰文化總經銷，ISBN 978-1-285-10502-4。

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