乘法

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：

• ${\displaystyle 5\times 2}$
• ${\displaystyle 5\cdot 2}$
• ${\displaystyle 5*2}$
• ${\displaystyle (5)(2)}$

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「${\displaystyle \times }$」表示乘法是威廉·奧特雷德最先使用，分別於一篇現時相信是於1618年他寫的附錄，和約於1628年寫作的、1631年出版的書《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）內出現。以「${\displaystyle \times }$」表示乘法是現在最流行的寫法。在電腦文書中，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。

以「${\displaystyle \cdot }$」表示乘法現在用於德國和法國等國家，最早由托马斯·哈里奥特在1631年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲。

因為星號「${\displaystyle *}$」是鍵盤必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在計算機使用這個用法的是FORTRAN（福傳）編程語言，事實上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年－1676年）在Teutsche Algebra一書中首次使用；但筆算時很少使用星號。

代数中，乘號經常省略掉，形式如${\displaystyle 5x}$和${\displaystyle xy}$。若變數多於一個字母，容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即${\displaystyle 5\times 2}$不會表示成${\displaystyle 52}$。

乘積可以用大写希臘字母Π（Pi，${\displaystyle \Pi }$）來表示：

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}}$

兩個整數的積是：

${\displaystyle mn=\sum _{k=1}^{n}m}$

這是“將m加到自己n次”的簡化說法。更清晰來說：

${\displaystyle mn=\underbrace {m+m+m+\cdots +m} _{n}}$

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質：

• 交換律：${\displaystyle xy=yx}$
• 結合律：${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$
• 分配律：${\displaystyle x(y+z)=xy+xz}$

將任何數乘以一都會等於該數本身，即${\displaystyle 1x=x}$，稱為單位律。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒做過，結果就是零，即${\displaystyle 0x=0}$。

當${\displaystyle x}$是量，${\displaystyle y}$是自然數，乘法的递归定義：

${\displaystyle 0x=0}$

${\displaystyle xy=x+x(y-1)}$

孙子筹算乘法

印度的格子乘法

最早最详细的关于十进位制乘法的规则，首见西元400年左右孙子算经。孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家，13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国，在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯，但都未能流行。

未解決的计算机科学問題：计算两个n位数相乘的最快算法是什么？

• 電腦有特別的算法來處理大數之間的相乘，見乘法算法。
• 華人小學生通常要背誦九九乘法表來學習乘法。
• 史豐收速算法提出了用“本個 +後進”的方式來計算乘法。
• 尺規作圖作乘法的方法：給定長為${\displaystyle 1}$的線，以及兩條線${\displaystyle AB}$和${\displaystyle AC}$，求長度為該兩條的線長度的積的線。解法：設該兩條線分別為${\displaystyle AB}$和${\displaystyle AC}$，${\displaystyle AB}$垂直${\displaystyle AC}$于${\displaystyle A}$。在${\displaystyle AB}$上畫出點${\displaystyle D}$使${\displaystyle DA=1}$，連${\displaystyle D}$、${\displaystyle C}$為${\displaystyle DC}$。畫一條通過${\displaystyle B}$、平行${\displaystyle DC}$的線，延長${\displaystyle AC}$，此兩條線的交於${\displaystyle E}$，${\displaystyle EA}$即為所求之線。