二叉堆

在数组的最末尾插入新节点。然后自下而上调整子节点与父节点（称作up-heap或bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up操作）：比较当前节点与父节点，不满足「堆性质」则交换。从而使得当前子树满足二叉堆的性质。时间复杂度为${\displaystyle O(\log n)}$。

删除根节点用于堆排序。

对于最大堆，删除根节点就是删除最大值；对于最小堆，是删除最小值。然后，把堆存储的最后那个节点移到填在根节点处。再从上而下调整父节点与它的子节点：对于最大堆，父节点如果小于具有最大值的子节点，则交换二者。这一操作称作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至当前节点与它的子节点满足「堆性质」为止。

下属对最大堆的自上而下调整堆的伪代码中，数组A的下标索引值是从1开始：

Max-Heapify[1] (A, i):
 left ← 2i
 right ← 2i + 1
 largest ← i
 if left ≤ heap_length[A] and A[left] > A[largest] then:
 largest ← left
 if right ≤ heap_length[A] and A[right] > A[largest] then:
 largest ← right
 if largest ≠ i then:
 swap A[i] ↔ A[largest]
 Max-Heapify(A, largest)

一个直观办法是从单节点的二叉堆开始，每次插入一个节点。其时间复杂度为${\displaystyle O(n\log n)}$。

最优算法是从一个节点元素任意放置的二叉树开始，自底向上对每一个子树执行删除根节点时的Max-Heapify算法（这是对最大堆而言）使得当前子树成为一个二叉堆。具体而言，假设高度为h的子树均已完成二叉堆化，那么对于高度为h+1的子树，把其根节点沿着最大子节点的分枝做调整，最多需要h步完成二叉堆化。可以证明，这个算法的时间复杂度为${\displaystyle O(n)}$。

建造最大堆的伪代码：

Build-Max-Heap[1] (A):
 heap_length[A] ← length[A]
 for i ← floor(length[A]/2) downto 1 do
 Max-Heapify(A, i)

最优方法是把两个二叉堆首尾相连放在一个数组中，然后构造新的二叉堆。时间复杂度为${\displaystyle O(\log n\log k)}$，其中n、k为两个堆的元素数目。

如果经常需要合并两个堆的操作，那么使用二项式堆更好，其时间复杂度为${\displaystyle O(\log n)}$。