二面體群

抽象言之，首先考慮 ${\displaystyle n}$ 階循環群 ${\displaystyle C_{n}}$。反射 ${\displaystyle \tau :x\mapsto x^{-1}}$ 是 ${\displaystyle C_{n}}$ 上的自同構，而且 ${\displaystyle \tau ^{2}={\rm {id}}}$。定義二面體群為半直積

${\displaystyle D_{2n}=C_{n}\rtimes \{e,\tau \}}$

任取 ${\displaystyle C_{n}}$ 的生成元 ${\displaystyle \sigma }$，${\displaystyle D_{2n}}$ 由 ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ 生成，其間的關係是

${\displaystyle \sigma ^{n}=e,\tau ^{2}=e,\tau \sigma \tau =\sigma ^{-1}\,}$

${\displaystyle D_{2n}}$ 的元素均可唯一地表成 ${\displaystyle \sigma ^{k}\tau ^{h}}$，其中 ${\displaystyle 0\leq k<n}$，${\displaystyle h=0,1\,}$。

n=5 的情形：反射對稱

n=5 的情形：旋轉對稱

二面體群也可以詮釋為二維正交群 ${\displaystyle O(2)}$ 中由

${\displaystyle \sigma$ :={\begin{pmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{pmatrix}}} （旋轉 ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$ 弧度）

${\displaystyle \tau$ :={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} （對 x 軸反射）

生成的子群。由此不難看出 ${\displaystyle D_{2n}}$ 是正 n 邊形的對稱群。

• ${\displaystyle D_{2n}}$ 的中心在 ${\displaystyle n}$ 為奇數時是 ${\displaystyle \{e\}}$，在 ${\displaystyle n}$ 為偶數時是 ${\displaystyle \{e,\sigma ^{n/2}\}}$。
• 當 ${\displaystyle n}$ 為奇數時，${\displaystyle D_{4n}}$ 同構於 ${\displaystyle D_{2n}}$ 與二階循環群的直積。同構可由下式給出：

${\displaystyle \sigma ^{k+\epsilon n}\tau ^{h}\mapsto (\sigma ^{k}\tau ^{h},\epsilon )}$

其中 ${\displaystyle h,\epsilon =0,1}$，${\displaystyle 0\leq k<n}$。

• 當 ${\displaystyle n}$ 為奇數時，${\displaystyle D_{2n}}$ 的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當 ${\displaystyle n}$ 為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正 ${\displaystyle n}$ 邊形的頂點。
• 若 ${\displaystyle m|n}$，則 ${\displaystyle D_{2m}\leq D_{2n}}$，由此可導出 ${\displaystyle D_{2n}}$ 共有 ${\displaystyle d(n)+\sigma (n)}$ 個子群，其中的算術函數 ${\displaystyle d(n)}$ 與 ${\displaystyle \sigma (n)}$ 分別代表 ${\displaystyle n}$ 的正因數個數與正因數之和。

當 ${\displaystyle n}$ 為奇數時，${\displaystyle D_{n}}$ 有兩個一維不可約表示：

${\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\;\sigma \mapsto 1\quad (k=0,1)}$

當 ${\displaystyle n}$ 為偶數時，${\displaystyle D_{n}}$ 有四個一維不可約表示：

${\displaystyle e}$

${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{3}}$

${\displaystyle \sigma ^{4}}$

${\displaystyle \sigma ^{5}}$

${\displaystyle \sigma ^{6}}$

${\displaystyle \sigma ^{7}}$

${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \sigma \tau }$

${\displaystyle \sigma ^{2}\tau }$

${\displaystyle \sigma ^{3}\tau }$

${\displaystyle \sigma ^{4}\tau }$

${\displaystyle \sigma ^{5}\tau }$

${\displaystyle \sigma ^{6}\tau }$

${\displaystyle \sigma ^{7}\tau }$

正八邊形的停車標誌在${\displaystyle D_{8}}$的群作用下的結果

${\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\sigma \mapsto (-1)^{h}\quad (k,h=0,1)}$

其餘不可約表示皆為二維，共有 ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ 個，形如下式：

${\displaystyle \sigma \mapsto {\begin{pmatrix}\omega ^{h}&0\\0&\omega ^{-h}\end{pmatrix}}\;\tau \mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

其中 ${\displaystyle \omega }$ 是任一 n 次本原單位根，${\displaystyle h}$ 過 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$。由 ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$ 給出的表示相等價若且唯若 ${\displaystyle h_{1}+h_{2}\equiv 0\mod n}$。