五邊形數定理

歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)x^{k}}$

其中${\displaystyle p(k)}$為k的分割函數。

上式配合五邊形數定理，可以得到

${\displaystyle (1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots )(1+p(1)x+p(2)x^{2}+p(3)x^{3}+\cdots )=1}$

考慮${\displaystyle x^{n}}$項的係數，在 n>0 時，等式右側的係數均為0，比較等式二側的係數，可得

${\displaystyle p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)+\cdots =0}$

因此可得到分割函數p(n)的递归式

${\displaystyle p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots }$

以n=10為例

${\displaystyle p(10)=p(9)+p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42}$

• Euler and the pentagonal number theorem
• On Euler's Pentagonal Theorem（页面存档备份，存于） at MathPages
• Number Theorem. at MathWorld
• The Pentagonal Number Theorem and All That（页面存档备份，存于） from Dick Koch.