交运算

设 A 是带有偏序 ${\displaystyle \leq }$ 的一个集合，并设 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 是 A 中的两个元素。A 的一个元素 ${\displaystyle z}$ 是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的交(或最大下界或下确界)，如果满足了下列两个条件:

1. ${\displaystyle z\leq x}$ 且 ${\displaystyle z\leq y}$ (就是说，${\displaystyle z}$ 是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的下界)；

2. 对于 A 中的任何 ${\displaystyle w}$，使得 ${\displaystyle w\leq x}$ 且 ${\displaystyle w\leq y}$，有着 ${\displaystyle w\leq z}$ (就是说，${\displaystyle z}$ 大于任何其他 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的下界)。

如果有 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的交，则它的确是唯一的，因为如果 ${\displaystyle z}$ 和 ${\displaystyle z'}$ 都是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的最大下界，则 ${\displaystyle z\leq z'\leq z}$，因而 ${\displaystyle z=z'\,}$。如果交确实存在，它被指示为 ${\displaystyle x\land y}$。在 A 中的某对元素可能缺乏一个交，要么因为它们根本没有下界，要么因为它们的下界中没有一个大于所有其他的。如果所有的元素对都有交，则交实际上是在 A 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对有 A 中任何元素 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ 和 ${\displaystyle z}$

a. ${\displaystyle x\land y=y\land x}$ (交换律)，

b. ${\displaystyle x\land (y\land z)=(x\land y)\land z}$ (结合律)，

c. ${\displaystyle x\land x=x}$ (幂等律)。

通过定义，在集合 A上的 二元运算 ${\displaystyle \land }$ 是交，如果它满足上面的三个条件 a, b 和 c。有序对 (A,${\displaystyle \land }$) 就是交半格。此外，我们可以定义在 A 上二元关系 ${\displaystyle \leq }$，通过声称 ${\displaystyle x\leq y}$ 当且仅当 ${\displaystyle x\land y=x}$。实际上，这个关系是在 A 上的偏序。对于 A 中任何元素 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ 和 ${\displaystyle z}$ 有

${\displaystyle x\leq x}$，因为 ${\displaystyle x\land x=x}$，通过公理 c；

如果 ${\displaystyle x\leq y}$ 且 ${\displaystyle y\leq x}$ 则 ${\displaystyle x=x\land y=y\land x=y}$，通过公理 a；

如果 ${\displaystyle x\leq y}$ 且 ${\displaystyle y\leq z}$ 则 ${\displaystyle x\leq z}$，因为 ${\displaystyle x\land z=(x\land y)\land z=x\land (y\land z)=x\land y=x}$，通过公理 b 。

如果 (A,${\displaystyle \leq }$) 是偏序集合，使得对于每对 A 中的元素都有交，则确实有 ${\displaystyle x\land y=x}$ 当且仅当 ${\displaystyle x\leq y}$，因为在后者情况下 ${\displaystyle x}$ 确实是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的下界，并且明显的 ${\displaystyle x}$ 是最大下界当且仅当它是下界。所以用泛代数方式的交定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来，如果 (A,${\displaystyle \land }$) 是交半格，并且偏序 ${\displaystyle \leq }$ 按泛代数方式定义，对于A 中某些元素 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 有 ${\displaystyle z=x\land y}$，则 ${\displaystyle z}$ 是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 关于 ${\displaystyle \leq }$ 的最大下界，因为 ${\displaystyle z\land x=x\land z=(x\land x)\land y=z\;\Rightarrow \;z\leq x}$，类似的 ${\displaystyle z\leq y}$，并且如果 ${\displaystyle w}$ 是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的另一个下界，则 ${\displaystyle w\land x=w\land y=w}$，从而 ${\displaystyle w\land z=w\land (x\land y)=(w\land x)\land y=w\land y=w}$。所以这个用最初的交定义的偏序定义的交一致于最初的交。

换句话说，两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都由另一个确定，而且分别满足偏序或交的条件。

如果 (A,${\displaystyle \land }$) 是交半格，则交可以被扩为任何非空有限集合的良好定义的交，通过在迭代二元运算中描述的描述的技术。可供选择的，如果交定义或定义自一个偏序，A 的某个子集确实有关于它的下确界。对于非空有限子集，这两种方式产生同样的结果，因为都可以做为交的定义。在 A 的每个子集都有交的情况下，(A,${\displaystyle \leq }$) 是完全格；详情参见完全性 (序理论)。

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