亥姆霍茲線圈

採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為[3]（這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來）

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$；

其中，${\displaystyle B}$是磁場數值大小，${\displaystyle \mu _{0}}$是磁常數，${\displaystyle I}$是電流，${\displaystyle R}$是線圈半徑，${\displaystyle z}$是檢驗位置的z-坐標。

對於${\displaystyle n}$匝線圈，磁場為

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$。

現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為${\displaystyle R/2}$，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為

${\displaystyle B={\frac {2\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+(R/2)^{2})^{3/2}}}={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}}$。

更詳細地計算，沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加：[4]

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}}\left\{\left[R^{2}+(z-h/2)^{2}\right]^{-3/2}+\left[R^{2}+(z+h/2)^{2}\right]^{-3/2}\right\}{\hat {\mathbf {z} }}}$。

在原點附近的磁場，經過一番運算，可以泰勒展開成${\displaystyle z}$的冪級數：

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{d^{3}}}\left[1+{\frac {3(h^{2}-R^{2})z^{2}}{2d^{4}}}+{\frac {15(h^{4}-6h^{2}R^{2}+2R^{4})z^{4}}{16d^{8}}}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}}$；

其中，${\displaystyle d={\sqrt {R^{2}+h^{2}/4}}}$。

現在設定${\displaystyle h=R}$，則${\displaystyle z^{2}}$項目為零，在原點附近的磁場更加均勻：

${\displaystyle \mathbf {B} ={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}I}{R}}\left[1-{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}}$。

磁場不均勻率與${\displaystyle z}$的關係式為

${\displaystyle {\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}}$。

在${\displaystyle z=\pm R/2}$，線圈平面與z-軸相交處，磁場數值的差別為

${\displaystyle {\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {1}{2}}\right)^{4}\approx -7\%}$。