代數同態

令A=K[x]為在一個體K上的所有多項式所組成的集合，且B為一個在K上所有多項式函數所組成的集合，則A跟B兩個都會是在K上分別由標準的多項式和函數的乘法及加法所構成的代數。可以將每個在A內的${\displaystyle f\,}$以${\displaystyle {\hat {f}}(t)=f(t)\,}$的方式映射至於B內的${\displaystyle {\hat {f}}\,}$。很簡單便可以知道這個映射${\displaystyle f\rightarrow {\hat {f}}\,}$會是一個A和B兩個代數之間的同態。若K是一個有限體的話，則可令

${\displaystyle p(x)=\Pi _{t\in K}(x-t).\,}$

其中p是一個在K[x]內的非零多項式。但對所有在K內的t，${\displaystyle p(t)=0\,}$，所以其映射${\displaystyle {\hat {p}}=0\,}$都會是一個零值函數，這兩個代數因此不會是同構的。

若K是無限的，則令${\displaystyle {\hat {f}}=0\,}$。接下來要證明這會使得${\displaystyle f=0\,}$。設${\displaystyle deg(f)=n\,}$和${\displaystyle t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}\,}$為K內n+1個不同的元素，則對${\displaystyle 0\leq i\leq n}$都會有${\displaystyle f(t_{i})=0\,}$。再利用拉格朗日插值便能得到${\displaystyle f=0\,}$。因此映射${\displaystyle f\rightarrow {\hat {f}}\,}$是單射的，故而有一個在A和B之間的同構。