伯恩施坦問題

設f是一個有n - 1個實變數的函數。f的圖象是Rⁿ中的曲面。這曲面的極小曲面條件，就是f滿足極小曲面方程

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}})^{2}}}}=0}$

伯恩施坦問題是指，如果一個在整個Rⁿ⁻¹上有定義的函數f符合這條方程，f是否必然是一次多項式。

Bernstein (1915–1917)證明了伯恩施坦定理：一個在R²上的實函數的圖象如果是R³中極小曲面，這曲面必定是平面。

Fleming (1962)給出了伯恩施坦定理的新證明，用了R³中沒有非平面的面積最小化錐的結果推斷出定理。

De Giorgi (1965)證明了如果Rⁿ⁻¹中沒有非平面的面積最小化錐，那麼伯恩施坦定理的類似結果在Rⁿ成立，特別是這結果可以推出定理在R⁴中成立。

Almgren (1966)證明了R⁴中沒有非平面的面積最小化錐，將伯恩施坦定理推廣到R⁵。

Simons (1968)證明了R⁷中沒有非平面的面積最小化錐, 將伯恩施坦定理推廣到R⁸。他也給出了R⁸中的局部穩定錐的一些例子，並問這些例子是否整體面積最小化。

Bombieri，De Giorgi & Giusti (1969)證明了詹姆斯·西蒙斯的錐確實是整體最小化的，並證明了Rⁿ對於n≥9時，有圖象是極小曲面但不是超平面。連同西蒙斯的結果，這顯示了伯恩施坦定理的類似結果，在維數上到8時是對的，在更高維數是錯的。

• Almgren, F. J., , Annals of Mathematics. Second Series, 1966, 84: 277–292, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970520, MR 0200816
• Bernstein, S.N., , Comm. Soc. Math. Kharkov, 1915–1917, 15: 38–45 German translation in Bernstein, Serge, , Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg), 1927, 26: 551–558, ISSN 0025-5874, doi:10.1007/BF01475472 （德语）
• Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio; Giusti, E., , Inventiones Mathematicae, 1969, 7: 243–268, ISSN 0020-9910, MR 0250205, doi:10.1007/BF01404309
• De Giorgi, Ennio, , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 1965, 19: 79–85 [2015-05-17], MR 0178385, （原始内容存档于2015-06-16）
• Fleming, Wendell H., , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II, 1962, 11: 69–90, ISSN 0009-725X, MR 0157263, doi:10.1007/BF02849427
• Sabitov, I.Kh., , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Simons, James, , Annals of Mathematics. Second Series, 1968, 88: 62–105, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970556, MR 0233295
• Straume, E., , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

• Encyclopaedia of Mathematics article on the Bernstein theorem（页面存档备份，存于）