伯恩赛德引理

使用三種顏色對立方體的面染色，旋轉后相同的視為一種，染色方式總數可以由這個公式確定。

選取一個定向，設 X 是這個定向立方體所有 3⁶ 種可能面染色組合，立方體的旋轉群自然作用在 X 上。則 X 的兩個元素屬于同一軌道恰好是一個是另一個的旋轉。旋轉不同的染色數就是軌道数，可以通過數 G 的 24 個元素的不動集合的大小求出來。

立方體面染色

• 一個恒同元素保持 X 的所有 3⁶ 個元素不變。
• 六個 90 度面旋轉，每一個保持 X 的 3³ 個元素不變。
• 三個 180 度面旋轉，每一個保持 X 的 3⁴ 個元素不變。
• 八個 120 度頂點旋轉，每一個保持 X 的 3² 個元素不變。
• 六個 180 度邊旋轉，每一個保持 X 的 3³ 個元素不變。

這些自同構的詳細檢驗可參見循環指標。

這樣，平均不動集合的大小是

${\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(3^{6}+6\times 3^{3}+3\times 3^{4}+8\times 3^{2}+6\times 3^{3}\right)=57.\,}$

從而有 57 種旋轉不同的立方體面 3 色染色方式。一般地，使用 n 種顏色，立方體不同的旋轉面染色數是

${\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right).\,}$

定理的證明利用軌道-中心化子定理以及 X 是軌道的不交并的事實：

${\displaystyle \sum _{g\in G}|X^{g}|=|\{(g,x)\in G\times X\mid g\cdot x=x\}|=\sum _{x\in X}|G_{x}|}$

${\displaystyle =\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|G.x|}}=|G|\sum _{x\in X}{\frac {1}{|G.x|}}=|G|\sum _{A\in X/G}\sum _{x\in A}{\frac {1}{|A|}}}$

${\displaystyle =|G|\sum _{A\in X/G}1=|G|\cdot |X/G|.}$

威廉·伯恩賽德在他1897年關于有限群的書中陳述并證明了這個引理，將其歸于弗罗贝尼乌斯 1887。不過在弗羅貝尼烏斯以前，這個公式在1845年已經為柯西所知。事實上，這個引理明顯如此有名，伯恩賽德不過忽略了將其歸于柯西。因此，這個引理有時候也稱為不是伯恩賽德的引理 [3]。這可能看起來不那么有歧義，伯恩賽德對這個領域貢獻了許多引理。

• 波利亞計數定理

• 伯恩赛德, 威廉, , Cambridge University Press, 1897.
• 弗罗贝尼乌斯, 费迪南德·格奥尔格, , Crelle, 1887, CI: 288.
• 紐曼, 彼得·邁克爾, , The Mathematical Scientist, 1979, 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685, MR562002.
• Cheng, Yuanyou (程远游), , journal of Hubei University of Technology, 1986, ISSN 1003-4684.
• Rotman, Joseph, , Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94285-8.