信源编码定理

在信息论中，香农的信源编码定理（或无噪声编码定理）确立了数据压缩的限度，以及香农熵的操作意义。

信源编码定理表明（在极限情况下，随着独立同分布随机变量数据流的长度趋于无穷）不可能把数据压缩得码率（每个符号的比特的平均数）比信源的香农熵还小，又不丢失信息。但是有可能使码率任意接近香农熵，且损失的概率极小。

码符号的信源编码定理把码字的最小可能期望长度看作输入字（看作随机变量）的熵和目标编码表的大小的一个函数，给出了此函数的上界和下界。

陈述

信源编码是从信息源的符号（序列）到码符号集（通常是bit）的映射，使得信源符号可以从二进制位元（无损信源编码）或有一些失真（有损信源编码）中准确恢复。这是在数据压缩的概念。

在信息论中，信源编码定理[1]非正式地陈述[2][3]为：

$N$ 个熵均为 $H (X)$ 的独立同分布的随机变量在 $N \to \infty$ 时，可以很小的信息损失风险压缩成多于 $N H (X)$ bit；但相反地，若压缩到少于 $N H (X)$ bit，则信息几乎一定会丢失。

令 $Σ 1, Σ 2$ 表示两个有限编码表，并令 $Σ * 1$ 和 $Σ * 2$ （分别）表示来自那些编码表的所有有限字的集合。

设 $X$ 为从 $Σ 1$ 取值的随机变量，令 $f$ 为从 $Σ * 1$ 到 $Σ * 2$ 的唯一可译码，其中 $|Σ 2 | = a$ 。令 $S$ 表示字长 $f (X)$ 给出的随机变量。

如果 $f$ 是对 $X$ 拥有最小期望字长的最佳码，那么(Shannon 1948)：

{\frac {H(X)}{\log _{2}a}}\leq \mathbb {E} S<{\frac {H(X)}{\log _{2}a}}+1

对于 $1 \leq i \leq n$ 令 $s i$ 表示每个可能的 $x i$ 的字长。定义 $q_{i}=a^{-s_{i}}/C$ ，其中 $C$ 会使得 $q 1 + ... + q n = 1$ 。于是

{\begin{aligned}H(X)&=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}p_{i}\\&\leq -\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}q_{i}\\&=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}a^{-s_{i}}+\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}C\\&=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}a^{-s_{i}}+\log _{2}C\\&\leq -\sum _{i=1}^{n}-s_{i}p_{i}\log _{2}a\\&\leq \mathbb {E} S\log _{2}a\\\end{aligned}}

其中第二行由吉布斯不等式推出，而第五行由克拉夫特不等式推出：

C=\sum _{i=1}^{n}a^{-s_{i}}\leq 1

因此 $log C \leq 0$ .

对第二个不等式我们可以令

s_{i}=\lceil -\log _{a}p_{i}\rceil

于是

-\log _{a}p_{i}\leq s_{i}<-\log _{a}p_{i}+1

因此

a^{-s_{i}}\leq p_{i}

并且

\sum a^{-s_{i}}\leq \sum p_{i}=1

因此由克拉夫特不等式，存在一种有这些字长的无前缀编码。因此最小的 $S$ 满足

{\begin{aligned}\mathbb {E} S&=\sum p_{i}s_{i}\\&<\sum p_{i}\left(-\log _{a}p_{i}+1\right)\\&=\sum -p_{i}{\frac {\log _{2}p_{i}}{\log _{2}a}}+1\\&={\frac {H(X)}{\log _{2}a}}+1\\\end{aligned}}

C.E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication （页面存档备份，存于）", Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379–423, 623-656, July, October, 1948
David J. C. MacKay. Information Theory, Inference, and Learning Algorithms （页面存档备份，存于） Cambridge: Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-64298-1
Cover, Thomas M. . . John Wiley & Sons. 2006. ISBN 0-471-24195-4.

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