充分统计量

对于统计量 ${\displaystyle t=T(X)}$，若数据${\displaystyle X}$在已知${\displaystyle t=T(X)}$时的条件分布不依赖于参数 ${\displaystyle \theta }$，则称其是关于参数 ${\displaystyle \theta }$ 的充分统计量。即对任何博雷尔集 ${\displaystyle A}$，有${\displaystyle {\text{Pr}}(x\in A|t,\theta )={\text{Pr}}(x\in A|t)}$。

若一个统计模型具有似然函数f_θ(x)，则T是θ的充分统计量当且仅当存在非负函数g与h，使得

${\displaystyle f_{\theta }(x)=h(x)g_{\theta }(T(x)).}$

若一个充分统计量是任何其他充分统计量的函数，则称其是一个最小充分统计量。即，统计量S(X)是最小充分统计量当且仅当[2]

1. S(X)是充分统计量，
2. 如果T(X)是一个充分统计量，那么存在一个函数f 使得 S(X)= f(T(X))。

一个有用的结论指出，当概率密度f_θ存在时，S(X)是最小充分统计量当且仅当

${\displaystyle {\frac {f_{\theta }(x)}{f_{\theta }(y)}}}$ 与θ无关${\displaystyle \Leftrightarrow }$ S(x)= S(y).

这一结论很容易由前述费希尔分解定理得出。

巴哈杜尔于1954年发现了一个最小充分统计量不存在的例子。[3] 然而，在一般的条件下，最小充分统计量总是存在的。

如果至少存在一个最小充分统计量，则每个完備充分统计量都是最小充分统计量[4]。

• Kholevo, A.S., , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Lehmann, E. L.; Casella, G. 2nd. Springer. 1998. Chapter 4. ISBN 0-387-98502-6.
• Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 0-19-920613-9