共變和反變

• 標記法說明：向量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 是向量空間 ${\displaystyle V\,\!}$ 的元素。向量基底 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...,\mathbf {e} _{n}\,\!}$ 構成了向量空間的一個基底，其座標系統為${\displaystyle x^{1},x^{2},...,x^{n}\,\!}$。對應這個基底，向量${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$的分量為${\displaystyle v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!}$，即${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}\mathbf {e} _{i}}$。

（註：${\displaystyle v^{2}\,\!}$ 這符號中的上標${\displaystyle 2}$不代表平方，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作 ${\displaystyle v_{2}\,\!}$ ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及愛因斯坦求和約定。）

向量空間${\displaystyle V}$有另一個基底${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{1},...,{\bar {\mathbf {e} }}_{n}\,\!}$，其座標系統為${\displaystyle {\bar {x}}^{1},...,{\bar {x}}^{n}\,\!}$。對應這個基底，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 有分量 ${\displaystyle {\bar {v}}^{1},{\bar {v}}^{2},...,{\bar {v}}^{n}\,\!}$，即${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}{\bar {v}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}}$。

對於1...n之間任意整數 ${\displaystyle \mu \,\!}$ ，我們知道 ${\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }\,\!}$ 和 ${\displaystyle v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!}$ 的關係：

${\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{1}}}v^{1}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{2}}}v^{2}+...+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{n}}}v^{n}\,\!}$。

使用愛因斯坦求和約定可寫成：

${\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{i}}}v^{i}\,\!}$ 。

假設對偶空間${\displaystyle V^{*}}$有兩個基底 ${\displaystyle {\mathbf {dx} ^{1},\mathbf {dx} ^{2},...,\mathbf {dx} ^{n}}\,\!}$跟${\displaystyle \mathbf {d{\bar {x}}} ^{1},\mathbf {d{\bar {x}}} ^{2},...,\mathbf {d{\bar {x}}} ^{n}\,\!}$ 。[1]^:289-297

假設${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in V^{*},{\boldsymbol {\omega }}=\sum _{i}\mathbf {\eta } _{i}\mathbf {dx} ^{i}=\sum _{j}{\bar {\mathbf {\eta } }}_{j}d{\bar {\mathbf {x} }}^{j}}$。 則對於${\displaystyle 1}$...${\displaystyle n}$之間其中一個特定的整數 ${\displaystyle \mu \,\!}$ ，我們知道 ${\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }\,\!}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {\eta } _{1},\mathbf {\eta } _{2},...,\mathbf {\eta } _{n}\,\!}$ 的關係：

${\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{1}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{1}+{\frac {\partial x^{2}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{2}+...+{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{n}\,\!}$ 。

或使用愛因斯坦求和約定寫成：

${\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{i}\,\!}$ 。

將向量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 投影於坐標軸 ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}$ ，可以求得其反變分量 ${\displaystyle a^{i}\,\!}$ ；將向量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 投影於坐標曲面的法線 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$ ，可以求得其共變分量 ${\displaystyle a_{i}\,\!}$ 。

在歐幾里得空間Ｒ³裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$ ，就可以計算其對偶基底的基底向量：

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!}$ 是三個基底向量 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$ 所形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!}$ 是三個基底向量 ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}\,\!}$ 所形成的平行六面體的體積 。

雖然 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$ 與 ${\displaystyle \mathbf {e} ^{j}\,\!}$ 並不相互標準正交，它們相互對偶：

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!}$ 。

這樣，任意向量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 的反變坐標為

${\displaystyle a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!}$ 。

類似地，共變坐標為

${\displaystyle a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!}$ 。

這樣， ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 可以表達為

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!}$ ，

或者，

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!}$ 。

綜合上述關係式，

${\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!}$ 。

向量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 的共變坐標為

${\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!}$ 是度規張量。

向量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 的反變坐標為

${\displaystyle a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!}$ ;

其中，${\displaystyle g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!}$ 是共軛度規張量。

共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。