关系代数 (数据库)

尽管六个基本运算中有三个取自集合论，在它们的关系代数对应者中存在额外的约束：对于并集和差集，涉及到的两个关系必须是“并集相容”的—就是说，两个关系必须有同样的属性集合。因为交集可以用差集来定义，交集所涉及的两个关系也必须是并集相容的。

笛卡尔积定义得与集合论有所不同，这里的元组是平坦的、无子元组的。就是说，不同于集合论，那里的n元组和m元组的笛卡尔积是2元组，而关系代数中它们的笛卡尔积把这个2元组展平为n+m元组。更形式的说，R × S被定义为：

R ${\displaystyle \times }$ S = {r ${\displaystyle \cup }$ s| r ${\displaystyle \in }$ R, s ${\displaystyle \in }$ S}

此外，对于要定义的笛卡尔积，涉及的两个关系必须有不相交表头—就是说，它们一定不能有公共属性名字。

投影是写为${\displaystyle \pi _{a_{1},...,a_{n}}(R)}$的一元运算，这里的${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$是属性名字的集合。这种投影的结果定义为当所有在${\displaystyle R}$中的元组被限制为集合${\displaystyle \{a_{1},...,a_{n}\}}$的时候所获得的集合。

广义选择是写为${\displaystyle \sigma _{\varphi }(R)}$的一元运算，这里的${\displaystyle \varphi }$是由正常选择中所允许的原子和逻辑算子${\displaystyle \land }$（与）、${\displaystyle \lor }$(或)和${\displaystyle \lnot }$（非）构成的命题公式。这种选择选出${\displaystyle R}$中使${\displaystyle \varphi }$成立的所有元组。

重命名是写为${\displaystyle \rho _{a/b}(R)}$的一元运算，这里的结果同一于${\displaystyle R}$，除了在所有元组中的${\displaystyle b}$字段被重命名为${\displaystyle a}$字段之外。它被简单的用来重命名关系的属性或关系自身。

自然连接是写为 (R ⋈ S)的二元运算，这里的R和S是关系。[1]自然连接的结果是在R和S中的在它们的公共属性名字上相等的所有元组的组合。例如下面是表格“雇员”和“部门”和它们的自然连接：

连接是关系复合的另一种术语；在范畴论中连接精确的是纤维积。

自然连接被确证为最重要的算法之一，因为它是逻辑AND的关系对应者。仔细注意如果同一个变量在用AND连结的两个谓词中出现，则这个变量表示相同的事物而两个出现必须总是由同一个值来代换。特别是，自然连接允许组合有外键关联的关系。例如，在上述例子中，外键成立于从雇员.DeptName到部门.DeptName，雇员和部门的自然连接组合了所有雇员和它们的部门。注意这能工作因为外键在相同名字的属性之间保持。如果不是这样，外键成立于从部门.manager到Emp.emp-number，则我们必须在采用自然连接之前必须重命名这些列。这种自然连接有时叫做相等连接（参见θ-连接）。

更形式的说，自然连接的语义定义为：

R ${\displaystyle \bowtie }$S = { t ${\displaystyle \cup }$ s : t ${\displaystyle \in }$ R, s ${\displaystyle \in }$ S, fun (t ${\displaystyle \cup }$ s) }

这里的fun(r)是对于二元关系r为真的谓词，当且仅当r是函数二元关系。通常要求R和S必须至少有一个公共属性，但是如果省略了这个约束则在那种特殊情况下自然连接就完全变成上面定义的笛卡尔积。

自然连接可以用Codd的原始运算模拟如下。假定b₁,...,b_m是公共于R和S的公共属性名字，a₁,...,a_n是唯一于R的属性名字而c₁,...,c_k是唯一于S的属性名字。进一步假定属性名字 d₁,...,d_m不在R 和S二者中。第一步我们可以重命名S中的公共属性名字：: S' := ρ_d1/b1(...ρ_dm/bm( S)...)，接着我们采用笛卡尔积并选择要连接的元组：: T := σ_b1=d1(...σ_bm=dm(R × S')...) ，最后我们采用一个投影来去掉重命名的属性：: U := π_{a1,...,an,b1,...,bm,c1,...,ck}(T) 。

考虑分别列出车模和船模的价格的表“车”和“船”。假设一个顾客要购买一个车模和一个船模，但不想为船花费比车更多的钱。在关系上的θ-连接CarPrice ≥ BoatPrice生成所有可能选项的一个表。

车 CarModel CarPrice CarA 20'000 CarB 30'000 CarC 50'000

船 BoatModel BoatPrice Boat1 10'000 Boat2 40'000 Boat3 60'000

车${\displaystyle \bowtie }$船${\displaystyle \scriptstyle CarPrice\geq BoatPrice}$ CarModel CarPrice BoatModel BoatPrice CarA 20'000 Boat1 10'000 CarB 30'000 Boat1 10'000 CarC 50'000 Boat1 10'000 CarC 50'000 Boat2 40'000

如果我们要组合来自两个关系的元组，而组合条件不是简单的共享属性上的相等，则有一种更一般形式的连接算子才方便，这就是θ-连接（或theta-连接）。θ-连接是写为${\displaystyle {\begin{matrix}R\ \bowtie \ S\\a\ \theta \ b\end{matrix}}}$或${\displaystyle {\begin{matrix}R\ \bowtie \ S\\a\ \theta \ v\end{matrix}}}$的二元算子，这里的a和b是属性名字，θ是在集合{<, ≤, =, >, ≥}中的二元关系，v是值常量，而R和S是关系。这个运算的结果由在R和S中满足关系θ的元素的所有组合构成。只有S和R的表头是不相交的，即不包含公共属性的情况下，θ-连接的结果才是有定义的。

这个运算可以用基本运算模拟如下：

R ${\displaystyle \bowtie }$_θ S = σ_θ(R × S)

在算子θ是等号算子 (=)的时候这个连接也相等连接。

但是要注意，支持自然连接和重命名的计算机语言可以不需要θ-连接，因为它可以通过对自然连接（在没有公共属性的时候的它退化为笛卡尔积）的选择来完成。

半连接是类似于自然连接的写为R ⋉ S的连接，这里的R和S是关系。[2]半连接的结果只是在S中有在公共属性名字上相等的元组所有的R中的元组。例如下面的例子是“雇员”和“部门”和它们的半连接的表：

更形式的说半连接的语义定义如下：

R ${\displaystyle \ltimes }$ S = { t : t ${\displaystyle \in }$ R, s ${\displaystyle \in }$ S, fun (t ${\displaystyle \cup }$ s) }

这里的fun(r)定义同于自然连接。

半连接可以被使用自然连接模拟如下。假定a₁,...,a_n是R的属性名字，则：

R ${\displaystyle \ltimes }$ S = ${\displaystyle \Pi }$_a1,..,an（R${\displaystyle \bowtie }$S）

因为我们可以通过基本运算模拟自然连接因此也就可以模拟半连接。

反连接是类似于自然连接的写为R ▷ S的连接，这里的R和S是关系。[3]反连接的结果是在S中没有在公共属性名字上相等的元组的R中的那些元组。

例如“雇员”和“部门”和它们的反连接的表：

反连接形式定义为：

R ${\displaystyle \triangleright }$ S = { t : t ${\displaystyle \in }$ R ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \neg \exists }$s ${\displaystyle \in }$ S : fun (t ${\displaystyle \cup }$ s) }

或

R ${\displaystyle \triangleright }$ S = { t : t ${\displaystyle \in }$ R，S中没有s满足fun (t ${\displaystyle \cup }$ s) }

这里的fun(r)定义同于自然连接。

反连接还可以定义为半连接的补集：

R ${\displaystyle \triangleright }$ S = R - R ${\displaystyle \ltimes }$ S

为此反连接有时叫做反半连接，反连接算子有时写为其上有横杠的半连接符号。

左外连接写成R ⟕ S，其中R与S为关系。[4]左外连接的结果包含R中所有元组，对每个元组，若在S中有在公共属性名字上相等的元组，则正常连接，若在S中没有在公共属性名字上相等的元组，则依旧保留此元组，并将对应其他列设为NULL。

${\displaystyle (R\bowtie S)\cup ((R-\pi _{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}(R\bowtie S))\times \{(\omega ,\dots \omega )\})}$

右外连接写成R ⟖ S，其中R与S为关系。[5]右外连接的结果包含S中所有元组，对每个元组，若在R中有在公共属性名字上相等的元组，则正常连接，若在R中没有在公共属性名字上相等的元组，则依旧保留此元组，并将对应其他列设为NULL。

${\displaystyle (R\bowtie S)\cup ((S-\pi _{s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}}(R\bowtie S))\times \{(\omega ,\dots ,\omega )\})}$

全外连接写成R ⟗ S，其中R与S为关系。[6]全外连接的结果包含R与S中所有元组，对每个元组，若在另一关系上中有在公共属性名字上相等的元组，则正常连接，若在另一关系上中没有在公共属性名字上相等的元组，则依旧保留此元组，并将对应其他列设为NULL。

R ⟗ S = (R ⟕ S) ∪ (R ⟖ S)

多数数据库包括五个聚集函数。这些运算是Sum、Count、Average、Maximum和Minimum。在关系代数中被写为_{Exp1,Exp2,Exp3...}G_{func1,func2,func3...}（关系）。必须指定要用的函数，而表达式是可选的。假定有一个叫Account的表有两列，分别是Branch_Name和Balance，并希望找到有最高结余的分部的名字，我们可以写_{Branch_Name}G_Max(Balance)（Account）。要找到最高余额我们可以简单的写G_Max(Balance)（Account）。

关于选择运算的规则在查询优化中扮演了最重要的角色。选择是可非常有效的减少在它的操作数中的行数的运算，所以如果我们设法把在表达式树中选择向着叶子方向移动，（子表达式产生的）内部关系的大小将被缩小。

选择是幂等性的（多次应用同一个选择有同样效果），和交换性的（应用选择的次序在最终结果中没有影响）。

1. ${\displaystyle \sigma _{A}(R)=\sigma _{A}\sigma _{A}(R)\,\!}$
2. ${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}(R)=\sigma _{B}\sigma _{A}(R)\,\!}$

其条件是更简单条件的合取的选择等价于针对这些单独条件的一序列选择，而其条件是析取的选择等价于选择的并集。可以使用这些恒等式来合并多个选择为更少的需要求值的选择，或分解它们使得其成员选择可以被移动或单独优化。

1. ${\displaystyle \sigma _{A\land B}(R)=\sigma _{A}(\sigma _{B}(R))=\sigma _{B}(\sigma _{A}(R))}$
2. ${\displaystyle \sigma _{A\lor B}(R)=\sigma _{A}(R)\cup \sigma _{B}(R)}$

叉积对于计算是最耗费的算子。如果输入关系有${\displaystyle N}$和${\displaystyle M}$行，结果将包含${\displaystyle NM}$行。所以在应用叉积算子之前尽最大可能减少两个操作数的大小是非常重要的。

这可以有效的完成，如果叉积跟随着选择算子，比如${\displaystyle \sigma _{A}}$(${\displaystyle R}$ × ${\displaystyle P}$)。这是最合适考虑连接定义的情况。如果叉积不跟随着选择运算，我们可以尝试使用其他规则从表达式树更高层压下一个选择。

在上节情况下我们使用对复杂条件的分解规则把条件${\displaystyle A}$分解为条件${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$和${\displaystyle D}$，使得${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle D}$，而${\displaystyle B}$只包含来自${\displaystyle R}$的属性，${\displaystyle C}$只包含来自${\displaystyle P}$的属性，${\displaystyle D}$包含${\displaystyle A}$的包含来自${\displaystyle R}$和${\displaystyle P}$二者的属性的那些部分。注意${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$或${\displaystyle D}$可能为空，则下列规则成立：

${\displaystyle \sigma _{A}(R\times P)=\sigma _{B\wedge C\wedge D}(R\times P)=\sigma _{D}(\sigma _{B}(R)\times \sigma _{C}(P))}$

选择在差集、交集和并集算子上是分配性的。使用下列三个规则在表达式树中把压入下面的集合运算中。注意，在差集和交集算子的情况下有可能在变换之后只把选择算子应用于某一个操作数。在如下情况下这是有意义的，操作数之一很小，而计算选择的花费超过了使用更小关系作为操作数的利益。

1. ${\displaystyle \sigma _{A}(R\setminus P)=\sigma _{A}(R)\setminus \sigma _{A}(P)=\sigma _{A}(R)\setminus P}$
2. ${\displaystyle \sigma _{A}(R\cup P)=\sigma _{A}(R)\cup \sigma _{A}(P)}$
3. ${\displaystyle \sigma _{A}(R\cap P)=\sigma _{A}(R)\cap \sigma _{A}(P)=\sigma _{A}(R)\cap P=R\cap \sigma _{A}(P)}$

选择与投影是交换性的，当且仅当在选择条件中引用的字段是在投影中的字段的子集。在投影之前进行选择可能有用，如果操作数是叉积或连接。在其他情况下，如果选择条件计算相对破费，把选择从投影中移动出来可能减少要测试的元组的数目（因为投影可能产生更少的元组，因为它清除由于取消字段导致的重复元组）。

${\displaystyle \pi _{a_{1},...,a_{n}}(\sigma _{A}(R))=\sigma _{A}(\pi _{a_{1},...,a_{n}}(R))}$这里的${\displaystyle A\,}$中的字段${\displaystyle \subseteq \{a_{1},...,a_{n}\}}$

投影是幂等性的，所以一系列（有效）投影等价于最外投影。

${\displaystyle \pi _{a_{1},...,a_{n}}(\pi _{b_{1},...,b_{m}}(R))=\pi _{a_{1},...,a_{n}}(R)}$这里的${\displaystyle \{a_{1},...,a_{n}\}\subseteq \{b_{1},...,b_{m}\}}$

投影在并集上是分配性的。

1. ${\displaystyle \pi _{a_{1},...,a_{n}}(R\cup P)=\pi _{a_{1},...,a_{n}}(R)\cup \pi _{a_{1},...,a_{n}}(P)}$

对一个变量的连续的重命名可以缩减为一个单一的重命名。没有公共变量的重命名运算可以任意相互重新排序，这可以导致能缩减的重命名毗连起来。

1. ${\displaystyle \rho _{a/b}(\rho _{b/c}(R))=\rho _{a/c}(R)\,\!}$
2. ${\displaystyle \rho _{a/b}(\rho _{c/d}(R))=\rho _{c/d}(\rho _{a/b}(R))\,\!}$

重命名关于差集、并集和交集是分配性的。

1. ${\displaystyle \rho _{a/b}(R\setminus P)=\rho _{a/b}(R)\setminus \rho _{a/b}(P)}$
2. ${\displaystyle \rho _{a/b}(R\cup P)=\rho _{a/b}(R)\cup \rho _{a/b}(P)}$
3. ${\displaystyle \rho _{a/b}(R\cap P)=\rho _{a/b}(R)\cap \rho _{a/b}(P)}$