凱萊–哈密頓定理

舉例明之，考慮下述方陣：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$

其特徵多項式為

${\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2}$

此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理：

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=O}$

此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=O}$

${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}}$

例如，為了計算${\displaystyle A^{4}}$，可以反覆利用上述關係式：

${\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}}$

${\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A}$

${\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}}$

或是，如果要計算${\displaystyle A^{n}}$，也可以假設：

${\displaystyle A^{n}=aA+bI}$

然後，依照前面的特徵多項式${\displaystyle \lambda ^{2}-5\lambda -2}$之兩解${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$，代入後可以得到

${\displaystyle \lambda _{1}^{n}=a\lambda _{1}+b}$

${\displaystyle \lambda _{2}^{n}=a\lambda _{2}+b}$

然後解方程後求出${\displaystyle a,b}$，便可得${\displaystyle A^{n}}$。

此外，凱萊–哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

註：一般而言，若${\displaystyle n\times n}$矩陣${\displaystyle A}$可逆（即：${\displaystyle \det(A)\neq 0}$），則${\displaystyle A^{-1}}$可以寫成${\displaystyle A}$的冪次和：特徵多項式有如下形式

${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} (A)\lambda ^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}\det(A)}$

將方程式${\displaystyle p(A)=0}$同乘以${\displaystyle A^{-1}}$，便得到

${\displaystyle A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det(A)}}(A^{n-1}-\operatorname {tr} (A)A^{n-2}+\cdots )}$

以下考慮佈於域${\displaystyle k=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$上的矩陣。

凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若${\displaystyle S}$是${\displaystyle n\times n}$矩陣，而${\displaystyle \operatorname {adj} (S)}$表其伴隨矩陣，則

${\displaystyle S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}}$

取${\displaystyle S=tI_{n}-A}$，便得到${\displaystyle (tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)=p_{A}(t)I_{n}}$。此式對所有${\displaystyle t}$皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環${\displaystyle k[t]}$內成立。

設${\displaystyle M:=k^{n}}$，矩陣${\displaystyle A}$賦予${\displaystyle M}$一個${\displaystyle k[t]}$-模結構：${\displaystyle f(t)\cdot m=f(A)m}$。考慮${\displaystyle k[t]}$-模${\displaystyle M[t]:=M\otimes _{k}k[t]}$，我們有${\displaystyle k[t]}$-模之間的「求值態射」：

${\displaystyle e_{A}:M[t]\to M,\qquad M\otimes t^{i}\mapsto A^{i}m}$

固定${\displaystyle m\in M}$，對${\displaystyle M[t]}$中的等式

${\displaystyle (tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)\,m=p_{A}(t)m}$

右側取${\displaystyle e_{A}}$後得到${\displaystyle p_{A}(A)m}$，左側取${\displaystyle e_{A}}$後得到${\displaystyle (A-A)\cdot (\cdots )=0}$。明所欲證。

另外一个简单的证明：
令：

${\displaystyle B={\mbox{adj}}(tI_{n}-A)}$

由:

${\displaystyle S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}}$

得：

${\displaystyle (tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle p(t)I_{n}=\det(tI_{n}-A)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n}}$

因两多项式，他们的对应项系数相等得：

${\displaystyle B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}~}$

在等式两边t的i次项系数分别乘以Aⁱ, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

${\displaystyle O=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}=p(A)}$

得证。

前述證明用到係數在${\displaystyle k[t]}$的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊–哈密頓定理可以推廣到一個交換環${\displaystyle R}$上的任何有限生成自由模${\displaystyle M}$（向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

• PlanetMath 上的證明（页面存档备份，存于）