函數極限

如果取 ${\displaystyle \delta }$ 為＂ ${\displaystyle x}$ 與 ${\displaystyle a}$ 差距的上限＂；類似地，取 ${\displaystyle \epsilon }$ 為＂ ${\displaystyle f(x)}$ 與 ${\displaystyle L}$ 差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為：

若對所有的 ${\displaystyle \delta >0}$ ，存在 ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }$，使得對所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ ，只要 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ 就有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$

其中 ${\displaystyle \epsilon \leq \delta }$ 是要確保 ${\displaystyle \delta }$ 越來越小時， ${\displaystyle \epsilon }$ 也會越來越小； ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ 是為了凸顯 ${\displaystyle x}$ 是逼近而非等於 ${\displaystyle a}$ ，但對應的 ${\displaystyle f(x)}$ 是可以等於 ${\displaystyle L}$ 的。

但對於实函数 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 逼近 ${\displaystyle a=0}$ 時，考慮到 ${\displaystyle \delta \geq 1}$ 的部分；在 ${\displaystyle {\left|x-0\right|}^{2}<\delta ^{2}}$ 下是沒有這樣的 ${\displaystyle \epsilon }$ 使得 ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }$ 且 ${\displaystyle \left|x^{2}-0\right|<\epsilon }$ 的，但數值上 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 的確在 ${\displaystyle a=0}$ 時很靠近 ${\displaystyle 0}$ ，也就是 ${\displaystyle \epsilon \leq \delta }$ 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以 ${\displaystyle x}$ 的變化去限制 ${\displaystyle f(x)}$ 的變化通常是很困難的，但如果反過來從 ${\displaystyle \epsilon }$ 出發，去找怎樣的 ${\displaystyle x}$ 會讓 ${\displaystyle f(x)}$ 與 ${\displaystyle L}$ 的差距小於 ${\displaystyle \epsilon }$ ，也就是從＂若對所有的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ 存在 ${\displaystyle \delta >0}$ ＂出發的話，顯然上面 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$的例子只要取 ${\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }}}$ 即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取 ${\displaystyle \epsilon }$ 和 ${\displaystyle \delta }$ 的最小值為 ${\displaystyle x}$ 與 ${\displaystyle a}$ 差距的上限，還是會有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$ ，這樣就可以用 ${\displaystyle \epsilon }$ 控制 ${\displaystyle x}$ 的變化，而滿足＂ ${\displaystyle x}$ 趨近於 ${\displaystyle a}$ 時 ${\displaystyle f(x)}$ 趨近於 ${\displaystyle L}$ ＂的直觀想法。

但實際上無法確保對所有 ${\displaystyle \delta >0}$，都有 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 使得 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ，所以定義函數極限之前必須要求 ${\displaystyle a}$ 為 ${\displaystyle D_{f}}$ 的极限点。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 ${\displaystyle r>0}$ 使得 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<r}$ 都有定義，也就是存在 ${\displaystyle a}$ 的去心鄰域使 ${\displaystyle f(x)}$ 都有定義，這樣的話 ${\displaystyle a}$ 會自動成為 ${\displaystyle D_{f}}$ 的極限點。

${\displaystyle f}$ 為实函数， ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ 為 ${\displaystyle D_{f}}$ 的極限點且 ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ ，若＂對所有的${\displaystyle \epsilon >0}$，存在${\displaystyle \delta >0}$，使得對所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 只要 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ 就有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$ ＂，或以正式的邏輯符號表述為

則以 ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ 表示，稱 ${\displaystyle L}$ 為實函數 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 的極限。

由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域 ${\displaystyle D_{f}}$ 的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的 ${\displaystyle \delta >0}$ 存在 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 使得 ${\displaystyle x>\delta }$ ＂。也就是直觀上可以用定義域 ${\displaystyle D_{f}}$ 裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$，且若＂對所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle \delta >0}$，使得對所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 只要 ${\displaystyle x>\delta }$ 時，有${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$ ＂，或以正式的邏輯符號表述為

則稱 ${\displaystyle L}$ 為實函數 ${\displaystyle f}$ 於正無窮大（ ${\displaystyle \infty }$ ）的極限，記作 ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}$ 類似的，若假設＂對所有的 ${\displaystyle \delta <0}$ 存在 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 使得 ${\displaystyle x<\delta }$ ＂，那在這種條件下，${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$，且若＂對所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle \delta <0}$，使得對所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ 只要 ${\displaystyle x<\delta }$ 時，有${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$ ＂，或以正式的邏輯符號表述為

則稱 ${\displaystyle L}$ 為實函數 ${\displaystyle f}$ 於負無窮大（ ${\displaystyle -\infty }$ ）的極限，記作${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L}$

若取

${\displaystyle A={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}}$

${\displaystyle B={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}}$

如果假設 ${\displaystyle a}$ 同時為 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 的极限点，那 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 顯然符合上面定理的要求的，而這時

${\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L}$

這個表達式會被別稱為＂ ${\displaystyle L}$ 是實函數 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 的右極限＂，也可以用 ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L}$ 表示。

類似的

${\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L}$

這個表達式會被別稱為＂ ${\displaystyle L}$ 是實函數 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 的左極限＂，也可以用 ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L}$ 表示。

以下公式中，${\displaystyle n>0,a>1}$。

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty }$