分式環

分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 ${\displaystyle R}$ 為一個整環，而 ${\displaystyle S:=R-\{0\}}$。

在集合 ${\displaystyle R\times S}$ 上定義下述等價關係 ${\displaystyle \sim }$：

${\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff rs'-r's=0}$

等價類 ${\displaystyle [r,s]}$ 可以想成「分式」 ${\displaystyle r/s}$，上述等價關係無非是推廣有理數的通分；藉此類比，在商集 ${\displaystyle (R\times S)/\sim }$ 上定義加法與乘法為：

${\displaystyle [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']}$

${\displaystyle [r,s][r',s']=[rr',ss']}$

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 ${\displaystyle R\rightarrow (R\times S)/\sim }$，定義為 ${\displaystyle r\mapsto [r,1]}$；這是一個單射。於是可定義分式環 ${\displaystyle T(R):=(R\times S)/\sim }$，再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上，我們常逕將 ${\displaystyle T(R)}$ 裡的元素寫作分式 ${\displaystyle r/s}$。

整環 ${\displaystyle R}$ 的分式環 ${\displaystyle K(R)}$ 及其自然環同態 ${\displaystyle R\rightarrow K(R)}$ 滿足以下的泛性質：

對任何環 ${\displaystyle T}$ 及環同態 ${\displaystyle \phi :R\rightarrow T}$，若 ${\displaystyle R-\{0\}}$ 中的元素在 ${\displaystyle \phi }$ 下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 ${\displaystyle \psi :K(R)\rightarrow T}$，使得 ${\displaystyle \phi }$ 是 ${\displaystyle R\rightarrow K(R)}$ 與 ${\displaystyle \psi }$ 的合成。

此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的域」這個陳述。據此泛性質可形式地證明：任何一組資料 ${\displaystyle (K,\phi :R\rightarrow T)}$ 若使得 ${\displaystyle K-\{0\}}$ 中的元素在 ${\displaystyle \phi }$ 下的像皆可逆，且滿足上述泛性質，則 ${\displaystyle K}$ 必與 ${\displaystyle T(R)}$ 同構。

• 有理數域 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 是整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的分式環。
• 有理函數域是多項式環的分式環
• 代數數域是代數整數環的分式環。
• 在一個連通複流形上，亞純函數域是全純函數環的分式環。

對於一般的交換環 ${\displaystyle R}$（容許有零因子），分式環是一種退而求其次的建構：我們想找使 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$ 為單射的「最大」局部化，詳述如下：

設 ${\displaystyle S}$ 為 ${\displaystyle R}$ 中的非零因子所成子集，它是個積性子集，因此可對之作局部化。令 ${\displaystyle T(R):=S^{-1}R}$，此時 ${\displaystyle T(R)}$ 常被稱作 ${\displaystyle R}$ 的全分式環。