分类公理

分离公理模式几乎可以單从替代公理模式推导出来。

首先，替代公理模式读做：

${\displaystyle \forall A,\exists B,\forall y:y\in B\iff \exists x:x\in A\land y=F(x)}$

其中F是不使用符号 A, B, x 或 y 的任何一个变量的泛函谓词 。给定适用于分类公理的一个谓词 P，定义映射 F 为：F(x) = x 如果 P(x) 为真，F(x) = z 如果 P(x) 为假，这里的 z 是 A 的使 P(z) 为真的任何成员。那么替代公理所保证的集合 B 完全就是分类公理所要求的集合 B。唯一的问题是这样的 z 有可能不存在。但是在这种情况下，分离公理所要求的集合 B 是个空集，所以分离公理可从替代公理和空集公理共同得出。

为此，分离公理模式经常从现代 Zermelo-Fraenkel 公理列表中省略。但是出于历史的考虑，和同下面章节中的集合论的可替代的公理化的比较，它仍是重要的。

无限制的概括公理读做：

${\displaystyle \exists A,\forall x,x\in A\leftrightarrow P\left(x\right)}$

就是说：

存在着一个集合 A，它的成员正是满足谓词 P 的那些对象。同樣地，集合 A 也是唯一的，并通常指示为 {x : P(x)}。

在采纳严格公理化之前，这个公理模式默认的用在早年的朴素集合论中。不幸的是，若然把P(x)替換成(x∉x)，它就直接导致了罗素悖论。所以，有用的集合论的公理化都不能包括无限制概括，至少不跟经典逻辑一同被使用。

只接受分类公理模式是公理化集合论的开端。多数其他 Zermelo-Fraenkel 公理（不包括外延公理或正规公理）对充当对概括公理模式的额外替代是必须的；每个公理都声称一个特定集合存在，并通过给出它的成员必须满足的谓词来定义这个集合。

在von Neumann-Bernays-Gödel 集合论中，對集合和类這兩者作出了区分。一个类 x 是集合，当且仅当它属于某个类 B。在这个理论中，有一个定理模式读做：

${\displaystyle \exists A:\forall x,x\in A\leftrightarrow \left(P\left(x\right)\land \exists B,x\in B\right)}$

定义了 ${\displaystyle Set(x)\leftrightarrow \exists A,x\in A}$ 之后，它可以简写为

${\displaystyle \exists A:\forall x,x\in A\leftrightarrow \left(P\left(x\right)\land Set(x)\right)}$

就是说：

有一个类 A 使得任何类 x 是 A 的成员，当且仅当 x 是满足 P 的一个集合。这个定理模式自身是受限的概括，避免了罗素悖论，因为它要求 x 是一个集合。接着把集合自身的分类写为单一的公理：

${\displaystyle \forall A,\forall x,\left(\exists B,x\in B\right)\rightarrow \exists y,\left(\exists B,y\in B\right)\land \forall z,z\in y\leftrightarrow \left(z\in x\land z\in A\right)}$

就是说：

给定任何类 A 和任何集合 x，有一个集合 y，它的成员完全是 x 和 A 二者共有的成员；

定义了 ${\displaystyle \forall x,x\in A\cap B\leftrightarrow x\in A\land x\in B}$ 之后，它可以简写为：

${\displaystyle \forall A,\forall x,Set(x)\rightarrow \exists y,Set(y)\land y=x\cap A}$

就是的说：

类 A 和集合 x 的交集是一个集合 y。

在这个公理中，谓词 P 被替代为可量化在其上的类 A。

在二阶逻辑中，我们可以在谓词上作量化，而概括公理模式成为简单的公理。这使用了同前面章节 NBG 公理一样的技巧，把谓词替代为一个类并接着量化于其上。

在蒯因所开创的新基础集合论中，给定谓词的概括公理采用无限制形式，但是对可以用于这个模式的谓词自身是有限制的。谓词 (x∉x) 是禁止的，因为同一个符号 x 出现在成员关系符号的两端（因而有不同“相对类型”）；因此避免了罗素悖论。 但是，把 P(x) 替換为 (x = x) 是允许的，我们可以形成所有集合的集合。详情请参见层化。