切割平面法

切割平面法由 Ralph Gomory 在 20 世纪 50 年代提出，用于解决整数规划和混合整数规划问题。然而，当时的大多数专家，包括 Gomory 自己都认为由于数值上的不稳定性，这种方法没有实际运用价值；同时由于求解过程中需要进行过多轮的切割，该方法可能是无效的。而在 20 世纪 90 年代中期，Gérard Cornuéjols 和同事发现切割平面法与分支定界法结合（称作分支切割法）时效率很高，并且能有效克服数值不稳定性。现在，所有的商用 MILP 求解器都或多或少地使用了 Gomory 切割。Gomory 切割可通过单一单纯形表格生成，相比于其他计算成本高昂、甚至分离为 NP-困难的其他切割法来说十分高效。在其他 MILP 的普遍切割法中，提升和投影割平面法明显优于 Gomory 切割。

设一整数规划问题被表达为其标准形式：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Maximize }}&c^{T}x\\{\mbox{s.t.}}&Ax=b,\\&x\geq 0,\,x_{i}{\mbox{ all integers}}.\\\end{aligned}}}$

该方法首先将 ${\displaystyle x_{i}}$为整数的约束进行松弛，并求解相应的线性规划问题，得出基本可行解。在几何层面上，该解为含有所有可行解的凸多胞形的一个顶点。如果该顶点不是整数点，则该方法将凸多胞形分为两部分，一部分含有该顶点的超平面，另一部分含有所有整数解。该超平面随即作为额外的线性约束加入到问题中，构成修正的线性问题，以排除前一步发现的顶点。随后求解新的线性问题，重复这一过程，直到发现整数解。

使用单纯形法求解线性问题会产生一组如下形式的方程

${\displaystyle x_{i}+\sum {\bar {a}}_{i,j}x_{j}={\bar {b}}_{i}}$

其中 ${\displaystyle x_{i}}$ 是基本变量， ${\displaystyle x_{j}}$是非基本变量。重写方程，使整数部分位于等号左边，小数部分位于等号右边：

${\displaystyle x_{i}+\sum \lfloor {\bar {a}}_{i,j}\rfloor x_{j}-\lfloor {\bar {b}}_{i}\rfloor ={\bar {b}}_{i}-\lfloor {\bar {b}}_{i}\rfloor -\sum ({\bar {a}}_{i,j}-\lfloor {\bar {a}}_{i,j}\rfloor )x_{j}}$

对于任意位于可行域的整数点，等号右边小于 1 ，而等号左边为整数，因此两边共同的取值必然小于或等于 0 。因此不等式

${\displaystyle {\bar {b}}_{i}-\lfloor {\bar {b}}_{i}\rfloor -\sum ({\bar {a}}_{i,j}-\lfloor {\bar {a}}_{i,j}\rfloor )x_{j}\leq 0}$

对于可行域内的所有整数点必须成立。此外，在基本可行解中，非基本变量都为 0 ，而且基本可行解 x 中如果 ${\displaystyle x_{i}}$ 不是整数，

${\displaystyle {\bar {b}}_{i}-\lfloor {\bar {b}}_{i}\rfloor -\sum ({\bar {a}}_{i,j}-\lfloor {\bar {a}}_{i,j}\rfloor )x_{j}={\bar {b}}_{i}-\lfloor {\bar {b}}_{i}\rfloor >0}$

所以上方的不等式排除了基本可行解，并且是符合需求的一次切割。通过将新的松弛变量 ${\displaystyle x_{k}}$ 引入不等式中，新的约束得以加入到线性问题中：

${\displaystyle x_{k}+\sum (\lfloor {\bar {a}}_{i,j}\rfloor -{\bar {a}}_{i,j})x_{j}=\lfloor {\bar {b}}_{i}\rfloor -{\bar {b}}_{i},\,x_{k}\geq 0,\,x_{k}{\mbox{ an integer}}.}$

切割平面法也适用于非线性规划。 其基本原理是通过封闭半空间的有限集估算非线性（凸）问题的可行域，并对一系列的线性问题估算进行求解。

• Benders 分解法
• 分支切割法
• 分支定界法
• 列生成法
• Dantzig-Wolfe 分解

• Marchand, Hugues; Martin, Alexander; Weismantel, Robert; Wolsey, Laurence. (PDF). Discrete Applied Mathematics. 2002, (123): 387–446 [2017-09-09]. （原始内容存档 (PDF)于2022-03-02）.
• Avriel, Mordecai (2003). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publications. ISBN 0-486-43227-0
• Cornuéjols, Gérard (2008). Valid Inequalities for Mixed Integer Linear Programs. Mathematical Programming Ser. B, (2008) 112:3-44. （页面存档备份，存于）
• Cornuéjols, Gérard (2007). Revival of the Gomory Cuts in the 1990s. Annals of Operations Research, Vol. 149 (2007), pp. 63–66. （页面存档备份，存于）

• "Integer Programming" Section 9.8 （页面存档备份，存于） Applied Mathematical Programming Chapter 9 Integer Programming (full text). Bradley, Hax, and Magnanti (Addison-Wesley, 1977)