切空间

在嵌入的流形圖（manifold picture）中，點x處的切向量被認為是通過點x的曲線的“速度”。因此，我們可以取切向量作為通過x的曲線的等價類（equivalence class），而在x處彼此相切。

假設 M是C^k流形(k ≥ 1)，x是M中的點。選擇圖表 ： φ : U → Rⁿ，其中U是包含x的M的開子集。假設兩個曲線γ₁ : (−1,1) → M 和 γ₂ : (−1,1) → M，其中γ₁(0) = γ₂(0) = x，使得φ ∘ γ₁和 φ ∘ γ₂都可以在0處微分。然後，如果在0處的正常導數（ordinary derivatives）φ ∘ γ₁與φ ∘ γ₂在0處的正常導數一致（coincide），則γ₁ 和 γ₂在0處被稱為等價。這定義此曲線上的等價關係，並且等價類被稱為在x處的 M的切線向量。

假設M是C^∞流形。如果f ∘ φ⁻¹對於每個圖表： φ : U → Rⁿ是無限可微的，則實值函數f : M → R屬於C^∞(M)。C^∞(M)是點積乘積（pointwise product）和函數總和（sum of functions）與標量乘法（scalar multiplication）的實關聯代數（associative algebra）。

在M中選擇一個點x。在x處的導數是線性映射D : C^∞(M) → R，其具有對於C^∞(M)中的所有f, g的性質：

${\displaystyle D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g)}$

根據微積分的乘法規則（product rule）建模。如果我們為這樣的導數定義加法和標量乘法

${\displaystyle (D_{1}+D_{2})(f)=D_{1}(f)+D_{2}(f)}$ 以及 ${\displaystyle (\lambda D)(f)=\lambda D(f)}$

我們得到一個實際的向量空間，我們定義為切空間T_xM。

再一次，我們從C^∞流形M 開始，並且點x 在M中。考慮由所有函數f 組成的C^∞(M)中的理想I，使得f(x) = 0。也就是說，定義通過x的曲線或表面之類的函數。然後I和I  ²是實向量空間，並且T_xM可以被定義為商空間（quotient space ）I / I ²的對偶空間（dual space）。後者之商空間也被稱為x處的流形M 之餘切空間。

另一種考慮切向量的方法是方向導數。給定Rⁿ中的向量v定義了在點x處的平滑映射f : Rⁿ → R的方向導數

${\displaystyle D_{v}f(x)=\left.{\frac {d}{dt}}f(x+tv)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).}$

這個映射是自然的導數。此外，結果是C^∞(Rⁿ)的每個推導具有這種形式。因此，在向量（在一點被認為是切向量）和導數之間存在一對一映射。

每個平滑（或可微）流形的映射φ : M → N在相應的切線空間之間引導自然線性映射：

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.}$

如果切線空間通過曲線定義，則地圖定義為

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

相反，如果通過導數定義切線空間，則

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ).}$

線性圖dφ_x被稱為x的導數、總導數、微分或前推（pushforward）。它經常用各種符號表示：

${\displaystyle D\varphi _{x},\quad (\varphi _{*})_{x},\quad \varphi '(x).}$

在某種意義上，導數是對於x附近的φ的最佳線性近似。注意，當N = R時，映射dφ_x : T_xM → R與函數φ的微分的通常概念一致。在局部坐標中，φ的導數可由雅可比矩陣給出。