初值定理

基于导数的拉普拉斯变换，我们有：

${\displaystyle sF(s)=f(0^{-})+\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt}$

因此：

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\to \infty }\left[f(0^{-})+\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]}$

但在 t=0⁻ 到 t=0⁺ 之间，${\displaystyle \lim _{s\to \infty }e^{-st}}$ 是不确定的；为了避免这种情况，可以通过对两段区间分别积分求得：

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }\left[\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]=\lim _{s\to \infty }\left\{\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=0^{-}}^{\epsilon }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]+\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=\epsilon }^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}}$

在第一个表达式中 0⁻<t<0⁺, e^−st=1。在第二个表达式中，可以交换积分和取极限的次序。同时在 0⁺<t<∞ 时 ${\displaystyle \lim _{s\to \infty }e^{-st}(t)}$ 为零。故：[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{s\to \infty }\left[\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]&=\lim _{s\to \infty }\left\{\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=0^{-}}^{\epsilon }f^{'}(t)dt\right]\right\}+\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{t=\epsilon }^{\infty }\lim _{s\to \infty }\left[e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}\\&=f(t)|_{t=0^{-}}^{t=0^{+}}+0\\&=f(0^{+})-f(0^{-})+0\\\end{aligned}}}$

通过用这个结果在主方程中进行代换就得到：

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=f(0^{-})+f(0^{+})-f(0^{-})=f(0^{+})}$

• 终值定理

1. . [2015-05-05]. （原始内容存档于2017-12-26）.
2. Robert H. Cannon, Dynamics of Physical Systems, Courier Dover Publications, 2003, page 567.
3. Robert H., Jr. Cannon. . Courier Dover Publications. 4 May 2012: 569 [2015-05-05]. ISBN 978-0-486-13969-2. （原始内容存档于2014-06-27）.