初始條件

線性齊次矩陣差分方程（沒有常數項），型式為${\displaystyle X_{t+1}=AX_{t}}$的差分方程，有解析解${\displaystyle X_{t}=A^{t}X_{0}}$，其中的向量${\displaystyle X_{0}}$是個別變數初始始組成的向量。${\displaystyle X_{0}}$可以稱為初始條件向量，或稱為初始條件，其中包括有nk個資訊，n是向量X的維度，而k = 1是系統的時間延遲次數。線性系統的初始條件不會影響狀態變數未來行為的特性，此系統是否穩定是由矩陣A的特徵值所決定，不是依初始條件決定。

一個由單一變數以及多數時間延遲組成的系統如下

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$

此處的維度n = 1，階數為k，因此要追蹤此系統特性，需要的初始條件個數為nk = k。其初始條件不會影響變數長期演進的特性。方程式的解是由特徵方程式${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0}$的根決定，所得的是${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},}$等特徵值，用在以下解的方程式中

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

其中的常數${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$可以以此方程來求解k個差分方程後，考慮初始條件的結果來求得。

有n個變數的一階微分方程，將變數都放在向量X中，可得

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=AX.}$

若有初始條件${\displaystyle X_{0}}$，可以計算不同時間下的數值。需要的初始資訊數量等於系統的維度n乘以系統階數k = 1 of the system，其結果為n。初始條件不會影響系統的穩定性特性。

單一變數x的k^th階微分方程如下：

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

需要的初始條件資訊數量為維度n = 1乘以階數k，等於k。此例中的k個初始資訊不是變數x在不同時間下的值，而是在初始時間下的x數值，以及前k – 1階微分的數值。初始條件不會影響系統特性，此系統的特徵方程式為${\displaystyle \lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,}$，其解為特徵值${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};}$，可以用在以下解的方程式中

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+\cdots +c_{k}e^{\lambda _{k}t}.}$

其中的常數${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$可以以此方程來求解k個微分方程後，考慮初始條件的結果來求得。