加权平衡树

加权平衡树是一种储存子树大小的二叉搜索树。那就是说，一个结点包含以下字段：

• 键（key），任何可排序的类型
• 值（value，可选，只作映射作用）
• 左子树（left），右子树（right），结点的指针
• 大小（size），整数类型

从定义上来说，树上叶子（没有子结点的元素）的大小（典型地用一个空指针表示）是0。一个内部结点的大小是它的两棵子树的大小，再加一 （size[n] = size[n.left] + size[n.right] + 1）。一个结点的权重取决于它的大小或者等于它的大小，或weight[n] = size[n] + 1。

树旋转

修改树的操作必须使用与AVL树中相同的操作来保证左子树和右子树的大小相互存在某种内在因子α，也就是旋转和两次选择。形式上来说，结点平衡操作如下定义：

如果一个结点满足weight[n.left] ≥ α·weight[n]以及weight[n.right] ≥ α·weight[n]，那么就说这个结点是α加权平衡的。[7]

在这里，α是一个在实现加权平衡树是用来做决定的数值参数。α的值越小，意味着这棵树“更加平衡”，但不是所有的α值都是合适的；Nievergelt和Reingold曾经证明过满足

${\displaystyle \alpha <1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

是一个平衡算法成功工作的重要状态。他们往后的工作展示了α的一个下界是²⁄₁₁，但如果使用一个自定义（更加复杂的）的再平衡算法，下界还可以更小。[7]

若平衡被正确实现，一棵含有n个元素的加权平衡树的高度h满足[7]

${\displaystyle h\leq \log _{\frac {1}{1-\alpha }}n={\frac {\log _{2}n}{\log _{2}\left({\frac {1}{1-\alpha }}\right)}}=O(\log n)}$

加权平衡树n次插入和删除操作中，平衡的次数是线性的，为n。也就是说，加权平衡树的平衡操作均摊开销是恒定的。[8]