匹配追求過程

能不能找到最小的${\displaystyle ||a||_{0}}$(${\displaystyle a_{k}}$不為0的個數，${\displaystyle \forall k=\{1,2,...,N\}}$)，使得近似訊號${\displaystyle {\hat {f}}}$等於${\displaystyle f}$。

${\displaystyle f(t)=\sum _{m}a_{m}b_{m}(t)}$

很明顯的，自然界中訊號大多只能以近似方式逼近，因此改為求

${\displaystyle \min _{||a||_{0}}\int ||f(t)-\sum _{m}a_{m}b_{m}(t)||^{2}dt<threshold}$

然而，這個最佳化問題是NP困難，無法在線性多項式時間內找到解答，因此使用匹配追求的近似解來求解。

${\displaystyle \min \int ||f(t)-\sum _{m}a_{m}b_{m}(t)||^{2}dt{\text{ , such that }}||a||_{0}\leq N}$

 輸入： 原訊號 ${\displaystyle f(t)}$
 輸出： 所需權重 ${\displaystyle a_{n}}$ 與其對應的基元 ${\displaystyle b_{n}}$
 初始化：
   ${\displaystyle n\leftarrow 0}$
   ${\displaystyle {\hat {f}}(t)\leftarrow f(t)}$
 反覆：
   尋找 ${\displaystyle m}$ 使得內積 ${\displaystyle \int {\hat {f}}(t)b_{m}^{*}(t)dt}$ 最大
   令 ${\displaystyle \phi _{n}(t)\leftarrow b_{m}(t)}$
   令 ${\displaystyle \mu _{n}\leftarrow \int {\hat {f}}(t)b_{m}^{*}(t)dt}$
   ${\displaystyle {\hat {f}}(t)\leftarrow {\hat {f}}(t)-\mu _{n}\phi _{n}(t)}$
   ${\displaystyle n\leftarrow n+1}$
 直到中止條件發生：
   問題一：  ${\displaystyle {\hat {f}}(t)=0}$
   問題二：  ${\displaystyle \int {\hat {f}}(t)^{2}(t)dt<threshold}$
   問題三：  ${\displaystyle n=N}$
 結束

能不能找到最小的${\displaystyle ||a||_{1}}$，使得近似訊號${\displaystyle {\hat {f}}}$等於${\displaystyle f}$。

${\displaystyle f(t)=\sum _{m}a_{m}b_{m}(t)}$

同理，自然界中訊號大多只能以近似方式逼近，因此改為求

${\displaystyle \min _{||a||_{1}}\int ||f(t)-\sum _{m}a_{m}b_{m}(t)||^{2}dt<threshold}$

這個最佳化問題依舊是NP困難，因此可使用基底追求的近似解來求解。

${\displaystyle \min \int ||f(t)-\sum _{m}a_{m}b_{m}(t)||^{2}dt{\text{ , such that }}||a||_{1}\leq N}$

${\displaystyle f(t)\approx {\hat {f}}(t)=\sum a_{t_{0},f_{0},\sigma }\varphi _{t_{0},f_{0},\sigma }(t)}$

where ${\displaystyle \varphi _{t_{0},f_{0},\sigma }(t)={\frac {2^{1/4}}{\sigma ^{1/2}}}e^{j2\pi f_{0}t-{\frac {\pi (t-t_{0})^{2}}{\sigma ^{2}}}}}$

近似訊號${\displaystyle {\hat {f}}}$是${\displaystyle N=3}$的特例，由三個基元組合而成，每個基元由${\displaystyle t_{0}}$決定在時間軸上的中心位置，${\displaystyle f_{0}}$決定在頻率軸上的中心位置，以及由${\displaystyle \sigma }$選擇縮放尺度的大小。

由於${\displaystyle \varphi _{t_{0},f_{0},\sigma }}$ 是非正交集合，${\displaystyle a_{t_{0},f_{0},\sigma }}$ 需要透過匹配追求來求得。

${\displaystyle f(t)\approx {\hat {f}}(t)=\sum a_{t_{0},f_{0},\sigma ,\eta }\cdot \varphi _{t_{0},f_{0},\sigma ,\eta }(t)}$

where ${\displaystyle \varphi _{t_{0},f_{0},\sigma ,\eta }(t)={\frac {2^{1/4}}{\sigma ^{1/2}}}e^{j2\pi (f_{0}t+{\frac {\eta }{2t^{2}}})-{\frac {\pi (t-t_{0})^{2}}{\sigma ^{2}}}}}$

近似訊號${\displaystyle {\hat {f}}}$是${\displaystyle N=4}$的特例，由四個基元組合而成，每個基元由${\displaystyle t_{0}}$決定在時間軸上的中心位置，${\displaystyle f_{0}}$決定在頻率軸上的中心位置，以及${\displaystyle \sigma }$選擇縮放尺度的大小和${\displaystyle \eta }$控制啁啾率。

同理，由於${\displaystyle \varphi _{t_{0},f_{0},\sigma ,\eta }}$ 是非正交集合，${\displaystyle a_{t_{0},f_{0},\sigma ,\eta }}$ 需要透過匹配追求來求得。