半正矢公式

对于任何球面上的两点，圆心角的半正矢值可以通过如下公式计算：

${\displaystyle \operatorname {hav} \left({\frac {d}{r}}\right)=\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

• ${\displaystyle \operatorname {hav} }$ 是半正矢函数的缩写：

${\displaystyle \operatorname {hav} (\theta )=\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}}$

• ${\displaystyle d}$ 是两点之间的距离（沿大圆，见球面距离）；
• ${\displaystyle r}$ 是球的半径；
• ${\displaystyle \varphi _{1}\varphi _{2}}$ ：点 1 的纬度和点 2 的纬度，以弧度制度量；
• ${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}}$ ：点 1 的经度和点 2 的经度，以弧度制度量。

左边的等号 ${\displaystyle {\frac {d}{r}}}$ 是圆心角，以弧度来度量。

可以通过应用反半正矢函数（如果可以查到值）或通过使用反正弦函数来解出 ${\displaystyle d}$ ：

${\displaystyle d=r\operatorname {archav} (h)=2r\arcsin \left({\sqrt {h}}\right)}$

${\displaystyle h=\operatorname {hav} {\frac {d}{r}}}$ ，代入可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}d&=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\sin ^{2}\left({\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}\right)}}\right)\end{aligned}}}$

在使用这个公式时，必须确保 ${\displaystyle h}$ 不超过 1 （ ${\displaystyle d}$ 只当 ${\displaystyle h}$ 的值在 0 到 1 间才有意义）。${\displaystyle h}$ 仅在球面上两点连线过球心时才为 1 ，当测量精度有限时，会产生较大的计算误差。 ${\displaystyle d}$ 如果大到接近圆周的一半长度 ${\displaystyle \pi R}$ 时（这个情况并不常见），一个小错误通常是一个大问题在。虽然还有其他的大圆距离公式，能够避免这个问题。上述公式有时候用反正切函数表达，但是 ${\displaystyle h}$ 接近 1 时这个问题仍然存在。

但是仍有对策来避免上述问题。类似的公式可以使用余弦函数表达（有时亦称为球面余弦定理，但是并非平面余弦定理）而不是半正矢，但如果这两点十分靠近（例如在地球上的一公里外）你可能得到的结果为 ${\displaystyle \cos {\frac {d}{r}}=0.99999999}$，导致一系列的误差。而由于半正矢式使用正弦函数，避免了这一问题。所以两个公式应该互补使用。

因为地球是一个不完美的球体，故当其应用于地球时，无论哪一个公式只是做一个近似测算，“地球半径” ${\displaystyle R}$ 在极点地区是 ${\displaystyle 6356.752}$ 公里，在赤道地区为 ${\displaystyle 6378.137}$ 公里。另外，半径曲率在极点处（${\displaystyle \approx 6399.594}$ 公里）比在赤道处(${\displaystyle \approx 6335.439}$ 公里)大 1% ，所以半正矢公式或者球面余弦定理是不能保证 0.5% 以内的误差。更准确的方法，应该是使用考虑地球离心率的Vincenty的公式或其他有关地理距离的论文所给出方法。

半正矢定理解球面三角形问题

给出一个单位球，一个在表面的球面三角形三个过三点 ${\displaystyle (u,v,w)}$ 的大圆所围出来的区域。如图，这个球面三角形的三边分别是 ${\displaystyle a}$（${\displaystyle \mathbf {u} }$ 至 ${\displaystyle \mathbf {v} }$）， ${\displaystyle b}$ （${\displaystyle \mathbf {u} }$ 到 ${\displaystyle \mathbf {w} }$）和 ${\displaystyle c}$ （${\displaystyle \mathbf {v} }$ 至 ${\displaystyle \mathbf {w} }$）并且角 ${\displaystyle C}$ 对边 ${\displaystyle c}$ 那么有如下关系

${\displaystyle \operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {hav} (C)}$[6]

由于这是一个单位球，弧长 ${\displaystyle a}$、 ${\displaystyle b}$ 和 ${\displaystyle c}$ 与两端点同球心构成的圆心角（弧度制）相等。

为了从该定理中得到半正矢公式，只需要考虑一种特殊情况，即 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 是北极，而 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ 是需要确定距离 ${\displaystyle \mathbf {d} }$ 两个点。在这个情况下， ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 由 ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\varphi _{1,2}}$ 来计算（即 90° - 维度）， ${\displaystyle C}$ 为经度分隔 ${\displaystyle \Delta \lambda }$ 和 ${\displaystyle c}$ 为求得的${\displaystyle {\frac {d}{R}}}$。结合 ${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi \right)=\cos(\varphi )}$，半正矢公式即可推导得出。

或者可以从球面余弦定理中得出

${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C)}$${\displaystyle }$

当 ${\displaystyle c}$ 很小时，这个公式精度不高。所以我们可以用 ${\displaystyle \cos(\theta )=1-2\operatorname {\operatorname {hav} } (\theta )}$ 来替换 ，并引用三角恒等式 ${\displaystyle \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)}$，半正矢定理就能推出。

• 视觉算法

1. van Brummelen, Glen Robert. . Princeton University Press. 2013 [2015-11-10]. ISBN 9780691148922. 0691148929.
2. de Mendoza y Ríos, Joseph. . Madrid, Spain: Imprenta Real. 1795 [2018-08-14]. （原始内容存档于2017-11-07） （西班牙语）.
3. Cajori, Florian. 2 2 (3rd corrected printing of 1929 issue). Chicago, USA: Open court publishing company. 1952: 172 [1929] [2015-11-11]. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147. The haversine first appears in the tables of logarithmic versines of José de Mendoza y Rios (Madrid, 1801, also 1805, 1809), and later in a treatise on navigation of James Inman (1821).
4. Inman, James. 3. London, UK: W. Woodward, C. & J. Rivington. 1835 [1821] [2015-11-09]. （原始内容存档于2016-12-28）.
5. Template:OED2
6. Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. . 3. Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. 2000: 892–893 [1922]. ISBN 978-0-486-41147-7.

• 美国人口普查局的 地理信息系统的问题(内容已被转移到 什么是最好的方式来计算两点间的距离?（页面存档备份，存于）)
• R.W.Sinnott的"半正矢的优点", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
• 推导半正矢公式（页面存档备份，存于），Ask Dr.Math(Apr. 20–21,1999)。
• Romuald Ireneus'Scibor-Marchocki, 球三角形， 初等几何(1997年)。
• W.Gellert,S.Gottwald,M.Hellwich，H.Kästner和H.Küstner的,The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics,2nd ed., ch. 12(Van Nostrand Reinhold：纽约，1989年)。

• 用的91种编程语言rosettacode.org实现半正矢公式（页面存档备份，存于） 或 17种编程语言codecodex.com（页面存档备份，存于）
• 其它在 C++（页面存档备份，存于）、C(mac os)（页面存档备份，存于）、Pascal（页面存档备份，存于）、Python、Ruby （页面存档备份，存于）、JavaScript（页面存档备份，存于）、PHP（页面存档备份，存于）、Matlab（页面存档备份，存于）、MySQL中的实现。
• 由任何两者之间的纬度和经度计算距离、方位等。http://www.movable-type.co.uk（页面存档备份，存于）