半連續性

設 ${\displaystyle X}$ 為拓撲空間，${\displaystyle x_{0}\in X}$，而 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ 為實值函數。若對每個 ε > 0 都存在 ${\displaystyle x_{0}}$ 的開鄰域 ${\displaystyle U}$ 使得 ${\displaystyle \forall x\in U,\;f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$，則稱 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle x_{0}}$ 上半連續。該條件也可以用上極限等價地表述：

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$

若 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle X}$ 上的每一點都是上半連續，則稱之為上半連續函數。

下半連續性可以準此定義：若對每個 ε > 0 都存在 ${\displaystyle x_{0}}$ 的開鄰域 ${\displaystyle U}$ 使得 ${\displaystyle \forall x\in U,\;f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$，則稱 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle x_{0}}$ 下半連續。用下極限等價地表述為：

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$

若 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle X}$ 上的每一點都是下半連續，則稱之為下半連續函數。

拓撲基 ${\displaystyle ]-\infty ,a[\;\;(a\in \mathbb {R} )}$ 賦予實數線 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 較粗的拓撲，上半連續函數可以詮釋為此拓撲下的連續函數。若取基為 ${\displaystyle ]a,+\infty [\;\;(a\in \mathbb {R} )}$，則得到下半連續函數。

上半連續但不是下半連續函數的例子（藍點表 ${\displaystyle f(x_{0})}$）

考慮函數

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&,x<0\\1&,x\geq 0\end{cases}}}$

此函數在 ${\displaystyle x_{0}=0}$ 上半連續，而非下半連續。

下半連續但不是上半連續连续的函数的例子（藍點表 ${\displaystyle f(x_{0})}$）

下整數函數 ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor }$ 處處皆上半連續。同理，上整數函數 ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$ 處處皆下半連續。

一個函數在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。

若 ${\displaystyle f,g}$ 在某一 點上半連續，則 ${\displaystyle f+g}$ 亦然；若兩者皆非負，則 ${\displaystyle fg}$ 在該點也是上半連續。若 ${\displaystyle f}$ 在一點上半連續，則 ${\displaystyle -f}$ 在該點下半連續，反之亦然。

若 ${\displaystyle X}$ 為緊集（例如閉區間），則其上的上半連續函數必取到極大值，而下半連續函數必取到極小值。

設 ${\displaystyle f_{n}}$ 為下半連續函數序列，而且對所有 ${\displaystyle x\in X}$ 有

${\displaystyle f(x)=\sup _{n}f_{n}(x)<+\infty }$

則 ${\displaystyle f}$ 是下半連續函數。

開集的指示函數為下半連續函數，閉集的指示函數為上半連續函數。

• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. . Dover Publications. 2003. ISBN 0486428753. 引文使用过时参数coauthors (帮助)

• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. . World Scientific. 1997. ISBN 9810225342. 引文使用过时参数coauthors (帮助)