单位双曲线

通常，曲线的渐近线是指曲线收敛到的直线。在代数几何和代数曲线理论中，引入了射影平面，此时渐近线是指在无穷远处与曲线相切的线.

等轴双曲线${\displaystyle f=x^{2}-y^{2}-1}$在ℝ²中相应的投影曲线是${\displaystyle F=x^{2}-y^{2}-z^{2}}$，与z = 0交于点P = (1 : 1 : 0)和Q = (1 : −1 : 0). P和Q都在F上simple，有切线x + y = 0, x − y = 0，即我们熟悉的初等几何中的渐近线.

单位双曲线的两支上的点分别为 ${\displaystyle (\cosh a,\sinh a)}$ 和${\displaystyle (-\cosh a,-\sinh a)}$ ，取决于双曲角度参数 ${\displaystyle a}$.

参数化单位双曲线的直接方法之一是利用双曲线xy = 1可以用指数函数：${\displaystyle (e^{t},\ e^{-t})}$参数化的特点.

这一双曲线可以通过具有矩阵 ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$ 的线性映射映射到单位双曲线.

${\displaystyle (e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).}$

参数t是双曲角度参数，即双曲函数的参量.