可逆元

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${\displaystyle R\,}$的可逆元組成了一於乘法下的群${\displaystyle U(R)\,}$ ，稱做 ${\displaystyle R\,}$的可逆元群(或单位群)。可逆元群U(R)有時亦被標記成R^*或R^×。

在一可交換單作環R內，可逆元群U(R)以乘法作用於R上頭。此一作用的軌道(orbit)被稱為結合集合；換句話說，存在一於R上的等價關係 ~ ，且當r~s時，表示存在一可逆元u使得r=us。

U是一由環範疇至群範疇的函子：每一個環同態 f : R → S 都可導出一群同態U(f) : U(R) → U(S)，當f會將可逆元映射至可逆元時。此一函數子有為整數群環結構的左伴隨。

一個環R是一個除環若且唯若R^* = R \ {0}。

• 在整數環${\displaystyle \mathbb {Z} }$裡，可逆元為±1。其每一軌道內都有兩個元素n和−n。

• 任一單位根均是某一單作環${\displaystyle R}$內的可逆元。（若${\displaystyle r}$是一單位根，且${\displaystyle r^{n}=1}$，則${\displaystyle r^{-1}=r^{n-1}}$亦為${\displaystyle R}$的元素）。
• 在代數數論裡，狄利克雷单位定理證明了許多代數整數環內可逆元的存在域。例如，在環${\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {5}})}$，${\displaystyle ({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {5}}-2)=1}$，因此${\displaystyle ({\sqrt {5}}+2),({\sqrt {5}}-2),1}$都是可逆元。
• 在環${\displaystyle M(n,F)}$，於一體${\displaystyle F}$上的${\displaystyle n\times n}$矩陣內，其可逆元恰好就是可逆矩陣。