卡爾曼分解

推導方式在離散時間系統及連續時間系統都是一様的。連續時間線性系統可以表示如下：

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle \,y(t)=Cx(t)+Du(t)}$

其中

${\displaystyle \,x}$為狀態向量

${\displaystyle \,y}$為輸出向量

${\displaystyle \,u}$為輸入（或控制）向量

${\displaystyle \,A}$為狀態矩陣

${\displaystyle \,B}$為輸入矩陣

${\displaystyle \,C}$為輸出矩陣

${\displaystyle \,D}$為前饋矩陣

而離散時間線性系統可以表示如下：

${\displaystyle \,x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$

${\displaystyle \,y(k)=Cx(k)+Du(k)}$

各向量及矩陣的意思如上。因此，系統可以表示為包括四個矩陣的數組${\displaystyle \,(A,B,C,D)}$。 令系統的階數為${\displaystyle \,n}$。

卡爾曼分解定義為將矩陣數組${\displaystyle \,(A,B,C,D)}$轉換為矩陣數組${\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})}$，且後者有以下的特性：

${\displaystyle \,{\hat {A}}={T^{-1}}AT}$

${\displaystyle \,{\hat {B}}={T^{-1}}B}$

${\displaystyle \,{\hat {C}}=CT}$

${\displaystyle \,{\hat {D}}=D}$

${\displaystyle \,T}$為${\displaystyle \,n\times n}$的可逆矩陣，可以定義為

${\displaystyle \,T={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

其中

• ${\displaystyle \,T_{r{\overline {o}}}}$的各（column）會生成可到達，不可觀察的狀態子空間。
• 選擇${\displaystyle \,T_{ro}}$ ，使得${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}\end{bmatrix}}}$的各（column）是可到達子空間的基底。
• 選擇${\displaystyle \,T_{\overline {ro}}}$ ，使得${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{\overline {ro}}\end{bmatrix}}}$的各（column）是不可觀察子空間的基底。
• 選擇${\displaystyle \,T_{{\overline {r}}o}}$ ，使得${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$可逆。

依上述的建構方式，矩陣${\displaystyle \,T}$可逆。可以觀察到其中有些矩陣可能會是零維度。例如，若系統有時有可觀察性及可控制性，則${\displaystyle \,T=T_{ro}}$，其他的矩陣都是零維。

利用可控制性及可觀察性的結果，可以證明轉換後的系統${\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})}$有以下形式的矩陣：

${\displaystyle \,{\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {D}}=D}$

因此可得以下結論

• 子系統${\displaystyle \,(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)}$具有可到達性及可觀察性。
• 子系統${\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}\\0&A_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&C_{ro}\end{bmatrix}},D\right)}$有可到達性。
• 子系統${\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A_{ro}&A_{24}\\0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{ro}\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}C_{ro}&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},D\right)}$有可觀察性。

• 可觀測性
• 可控制性

• Lectures on Dynamic Systems and Control, Lecture 25（页面存档备份，存于） - Mohammed Dahleh, Munther Dahleh, George Verghese — MIT OpenCourseWare