祖暅原理

圓柱體

如果垂直轉軸切開圓柱體，設r為半徑，可得到橫切面積為${\textstyle \pi r^{2}}$的圓。根據祖暅原理，圓柱體積相等於底面積相等於圓面積${\textstyle \pi r^{2}}$、高h的長方體，所以半徑r和高h的圓柱體積是${\displaystyle \pi r^{2}h}$。

垂直（上）以及（下）切開半球體和對照立體

從其中一層以垂直表面的高h橫切半徑為r的半球體，根據勾股定理，半徑為

${\displaystyle r'={\sqrt {r^{2}-h^{2}}}}$

所以橫切面積是

${\displaystyle \pi \cdot (r')^{2}=\pi \cdot (r^{2}-h^{2})}$

對照立體是個有與半球體相同橫切面積和高的立體，中間有一圓錐體。高h的對照立體環形切面有內圓周h及外圓周r，其面積為

${\displaystyle \pi \cdot r^{2}-\pi \cdot h^{2}=\pi \cdot (r^{2}-h^{2})}$

因此兩個立體都滿足祖暅原理並有相同體積。對照立體的體積就是圓柱體和圓錐體體積之差，所以

${\displaystyle \pi \cdot r^{2}\cdot r-{\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot r={\frac {2}{3}}\pi \cdot r^{3}}$

成功利用這條有名的方程計出半球體積，從而導出球體積公式。