卢卡斯定理

设${\displaystyle M}$为${\displaystyle m}$元集，将其划分为${\displaystyle m_{i}}$个长度为${\displaystyle p^{i}}$的循环。然后这些循环中的每一个都可以单独轮换，因此作为循环群${\displaystyle {C_{p}}^{i}}$的笛卡尔积的群${\displaystyle G}$作用于${\displaystyle M}$。因此，它也作用于大小为${\displaystyle n}$的子集${\displaystyle N}$。由于${\displaystyle G}$中的元素数量是${\displaystyle p}$的幂，因此它的任何轨道都是如此。因此，为了计算 ${\displaystyle {\tbinom {m}{n}}}$ 模${\displaystyle p}$，我们只需要考虑这个群作用的不动点。不动点是一些循环的并集。准确地说，可以通过对${\displaystyle k-i}$的归纳来证明，${\displaystyle N}$必须恰好有${\displaystyle n_{i}}$个长度为${\displaystyle p^{i}}$的循环。因此，${\displaystyle N}$的个数正好是 ${\displaystyle \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}}}$。

本证明由Nathan Fine[2]给出。

对于素数${\displaystyle p}$和${\displaystyle n}$，满足${\displaystyle 1\leq n\leq p-1}$, 二项式系数

${\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-n+1)}{n\cdot (n-1)\cdots 1}}}$

可被${\displaystyle p}$整除。由此可得，在母函数中

${\displaystyle (1+X)^{p}\equiv 1+X^{p}{\pmod {p}}.}$

应用数学归纳法可证，对于任意非负整数${\displaystyle i}$，有

${\displaystyle (1+X)^{p^{i}}\equiv 1+X^{p^{i}}{\pmod {p}}.}$

对于任意非负整数${\displaystyle m}$和素数${\displaystyle p}$，将${\displaystyle m}$用${\displaystyle p}$进制表示，即${\displaystyle m=\sum _{i=0}^{k}m_{i}p^{i}}$ ，其中${\displaystyle k}$为非负整数、${\displaystyle m_{i}}$为整数且${\displaystyle 0\leq m_{i}\leq p-1}$。注意到

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}X^{n}&=(1+X)^{m}=\prod _{i=0}^{k}\left((1+X)^{p^{i}}\right)^{m_{i}}\\&\equiv \prod _{i=0}^{k}\left(1+X^{p^{i}}\right)^{m_{i}}=\prod _{i=0}^{k}\left(\sum _{n_{i}=0}^{m_{i}}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}X^{n_{i}p^{i}}\right)\\&=\prod _{i=0}^{k}\left(\sum _{n_{i}=0}^{p-1}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}X^{n_{i}p^{i}}\right)=\sum _{n=0}^{m}\left(\prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}\right)X^{n}{\pmod {p}},\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle n_{i}}$是${\displaystyle n}$的${\displaystyle p}$进制表达的第${\displaystyle i}$位。此即证明了本定理。