雙代數

定義中的相容性由以下交換圖給出：

乘法與餘乘法相容：

乘法與餘單位元相容：

餘乘法與單位元相容：

單位元與餘單位元相容：

在此 ${\displaystyle \nabla _{B}:B\otimes _{K}B\to B}$ 是代數乘法，而 ${\displaystyle \eta _{B}:K\to B}$ 是代數之單位元。${\displaystyle \Delta _{B}:B\to B\otimes _{K}B}$ 是餘代數乘法，而 ${\displaystyle \epsilon _{B}:B\to K}$ 是餘代數單位元。${\displaystyle \tau _{B}:B\otimes B\to B\otimes B}$ 定義為 ${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x}$。

若以算式具體描述，則相容關係有如下之表示（在此採用省略 ${\displaystyle \Sigma }$ 之 Sweedler 記法）：

乘法與餘乘法相容：

${\displaystyle (ab)_{(1)}\otimes (ab)_{(2)}=a_{(1)}b_{(1)}\otimes a_{(2)}b_{(2)}\,}$

乘法與餘單位元相容：

${\displaystyle \varepsilon (ab)=\varepsilon (a)\varepsilon (b)\;}$

餘乘法與單位元相容：

${\displaystyle 1_{(1)}\otimes 1_{(2)}=1\otimes 1\,}$

單位元與餘單位元相容：

${\displaystyle \varepsilon (1)=1.\;}$

在此我們省略代數乘法之映射 ${\displaystyle \nabla }$，而直接以兩項並置表之。同理，單位元 ${\displaystyle \eta }$ 直接以單位元素 ${\displaystyle 1}$ 表示（對應到 ${\displaystyle \eta (1)}$）。