反褶积

反褶积的目标一般而言是找到满足以下方程的解${\displaystyle f}$：

${\displaystyle f*g=h\,}$

${\displaystyle h}$是观测数据，${\displaystyle f}$是希望恢复的信号。观测数据${\displaystyle h}$通常是${\displaystyle f}$和滤波器或失真函数${\displaystyle g}$的褶积，即${\displaystyle h}$是${\displaystyle f}$的失真版本，且不易直接在时域识别。函数${\displaystyle g}$代表观测系统或物理系统的脉冲响应。如果知道${\displaystyle g}$或它的形式，那么就可以进行确定性（Deterministic）反褶积；反之，如果没有关于${\displaystyle g}$的先验信息，我们就需要对其进行估计。估计的方法包括统计估计方法、对潜在系统建模（例如电路方程或扩散方程）等。

有几种去卷积技术，适用于不同测量误差和去卷积参数的选择。实际的观测过程更接近：

${\displaystyle (f*g)+\varepsilon =h\,}$

其中${\displaystyle \varepsilon }$是观测噪声。如果将含噪数据当作无噪处理，对${\displaystyle g}$的统计估计将是不准确的，对${\displaystyle f}$的估计同样不准确。信噪比越低，反褶积效果越差，这就是逆向滤波的效果通常不好的原因。如果对信号中的噪声分布有先验信息（例如知道信号中存在白噪声），对${\displaystyle f}$的估计就可以通过维纳反褶积等方法提高。

在理想情况下（信噪比很高时），反褶积就是反滤波。原始反褶积可以在拉普拉斯域进行：计算观测数据${\displaystyle h}$和系统响应函数${\displaystyle g}$的傅里叶变换，得到${\displaystyle H}$和${\displaystyle G}$，其中${\displaystyle G}$是传递函数。此时：

${\displaystyle F=H/G\,}$

最后，对${\displaystyle F}$进行逆傅里叶变换，就可以得到通过反褶积得到的对原始信号${\displaystyle f}$的估计。需要注意的是，由于传递函数${\displaystyle G}$在分母上，对系统建模产生的误差会被放大。