变换矩阵

绕原点逆时针旋转 θ 度角的变换公式是 ${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$ 与 ${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$，用矩阵表示为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

缩放（反矩陣）公式为 ${\displaystyle x'=s_{x}\cdot x}$ 与 ${\displaystyle y'=s_{y}\cdot y}$，用矩阵表示为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{x}&0\\0&s_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

推移有两种可能的形式：

平行于 x 轴的推移为 ${\displaystyle x'=x+ky}$ 与 ${\displaystyle y'=y}$，矩阵表示为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

平行于 y 轴的推移为 ${\displaystyle x'=x}$ 与 ${\displaystyle y'=y+kx}$，矩阵表示为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

为了沿经过原点的直线反射向量，假设（u_x, u_y）为直线方向的单位向量。变换矩阵为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2u_{x}^{2}-1&2u_{x}u_{y}\\2u_{x}u_{y}&2u_{y}^{2}-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

不经过原点的直线的反射是仿射变换，而不是线性变换。

若一座標（x, y）沿直線 ${\displaystyle y=(\tan \theta )\cdot x}$ 進行反射，則其影像（x', y'）可用以下公式求得：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

为了将向量正投影到一条经过原点的直线，假设（u_x, u_y）是直线方向的单位向量，变换矩阵为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

跟反射一样，正投影到一条不经过原点的直线的变换是仿射变换，而不是线性变换。

平行投影也是线性变换，也可以用矩阵表示。但是透视投影不是线性变换，必须用齐次坐标表示。

为了表示仿射变换，需要使用齐次坐标，即用三维向量（x, y, 1）表示二维向量，对于高维来说也是如此。按照这种方法，就可以用矩阵乘法表示变换。${\displaystyle x'=x+t_{x}}$; ${\displaystyle y'=y+t_{y}}$变为

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}}$

在矩阵中增加一列与一行，除右下角的元素为1外其它部分填充为0，通过这种方法，所有的线性变换都可以转换为仿射变换。例如，上面的旋转矩阵变为

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

通过这种方法，使用与前面一样的矩阵乘积可以将各种变换无缝地集成到一起。

当使用仿射变换时，齐次坐标向量w从来不变，这样可以把它当作为1。但是，透视投影中并不是这样。

三维计算机图形学中另外一种重要的变换是透视投影。与平行投影沿着平行线将物体投影到图像平面上不同，透视投影按照从投影中心这一点发出的直线将物体投影到图像平面。这就意味着距离投影中心越远投影越小，距离越近投影越大。

最简单的透视投影将投影中心作为坐标原点，z = 1作为图像平面，这样投影变换为${\displaystyle x'=x/z}$; ${\displaystyle y'=y/z}$，用齐次坐标表示为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}}$

(这个乘法的计算结果是${\displaystyle (x_{c},y_{c},z_{c},w_{c})}$ = ${\displaystyle (x,y,z,z)}$。）

在进行乘法计算之后，通常齐次元素w_c并不为1，所以为了映射回真实平面需要进行齐次除法，即每个元素都除以w_c：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{c}/w_{c}\\y_{c}/w_{c}\\z_{c}/w_{c}\end{pmatrix}}}$

更加复杂的透视投影可以是与旋转、缩放、平移、切变等组合在一起对图像进行变换。