古德斯坦定理

古德斯坦序列是由一種「以n為基底的瓜瓞式表示法」的概念來定義的。這個表示法與平常的 n 進位制表示法很像，但一般的進位表示法無法達到古德斯坦定理的目的。在原本的 n 進位表示法，n 是一個大於 1 的自然數，而任一個自然數 m 則被改寫為一些由 n 的冪次的乘積的相加之和：

${\displaystyle m=a_{k}n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots +a_{0},}$

其中，每個係數 a_i 滿足0 ≤ a_i < n，且a_k ≠ 0。如在 2 進位中，

${\displaystyle 35=32+2+1=2^{5}+2^{1}+2^{0}.}$

所以， 35 的二進位是 100011（2⁵ + 2 + 1）。類似地，由 3 進位表示的 100 是 10201:

${\displaystyle 100=81+18+1=3^{4}+2\cdot 3^{2}+3^{0}.}$

然而需注意的是，這些指數仍非是基於 n 的表述法。如上述表示式中的 2⁵ 和 3⁴ 。

將一個 n 進位表示轉換為瓜瓞式n基底表示法，首先要將每個指數改為 n 基底表示法。然後改寫指數中的指數，持續這個動作直到每個數都被改為以 n 為基底表示法。

譬如， 2 進位的 35 為 100011 ，將它改寫成以 n 為基底的瓜瓞式表示法為：

${\displaystyle 35=2^{2^{2}+1}+2+1,}$

(5 = 2² + 1.) 。類似的，以3為基底的瓜瓞式表示法的 100 為

${\displaystyle 100=3^{3+1}+2\cdot 3^{2}+1.}$

古德斯坦序列 G(m) 是一個自然數的序列。第一項為 m 本身。第二項則是先將 m 以 2 為基底得出其的瓜瓞式表示法，再將所有的 2 改為 3，再減去 1。更一般地，第 (n + 1) 項的 G(m)(n + 1) 為：

• 將 G(m)(n) 轉為以 n + 1 為基底的瓜瓞式表示法。
• 將所有的 n + 1 改為 n + 2 。
• 減 1。
• 重復這個過程，直到結果為 0 則停止。

前幾個古德斯坦序列會很快地終止，如 G(3) 結束於第 6 步：

基底	瓜瓞式表示法	值	註記
2	${\displaystyle 2^{1}+1}$	3	以 2 為基底改寫 3。
3	${\displaystyle 3^{1}+1-1=3^{1}}$	3	將 2 改為 3，再減 1。
4	${\displaystyle 4^{1}-1=3}$	3	將 3 改為 4，再減 1。此時已無任何 4 了。
5	${\displaystyle 3-1=2}$	2	沒有 4 需要改為 5。單純減 1。
6	${\displaystyle 2-1=1}$	1	沒有 5 需要改為 6。單純減 1。
7	${\displaystyle 1-1=0}$	0	沒有 6 需要改為 7。單純減 1。

之後的古德斯坦序列則成長到很龐大的數字，如 G(4) A056193 開始如下：

瓜瓞式表示法	值
${\displaystyle 2^{2}}$	4
${\displaystyle 3^{3}-1=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2}$	26
${\displaystyle 2\cdot 4^{2}+2\cdot 4+1}$	41
${\displaystyle 2\cdot 5^{2}+2\cdot 5}$	60
${\displaystyle 2\cdot 6^{2}+2\cdot 6-1=2\cdot 6^{2}+6+5}$	83
${\displaystyle 2\cdot 7^{2}+7+4}$	109
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle 2\cdot 11^{2}+11}$	253
${\displaystyle 2\cdot 12^{2}+12-1=2\cdot 12^{2}+11}$	299
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle 2\cdot 24^{2}-1=24^{2}+24\cdot 23+23}$	1151

G(4) 會一直遞增，直到基底為 ${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,209}}$ 時，會達到最大值 ${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,210}-1}$ ，並在這裡停留 ${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,209}}$ 步後，然後開始遞減。

這個序列到達 0 時，當時的基底為 ${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,211}-1}$。（有趣的是，這是個胡道爾數：${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,211}-1=402\,653\,184\cdot 2^{402\,653\,184}-1}$。而且，對於所有起始值大於 4 的數，都是如此。）

不過，G(4) 仍無法很好地展示古德斯坦序列的項數是如何快速地成長。G(19) 成長更迅速，其開頭幾項如下：

瓜瓞式表示法	值
${\displaystyle 2^{2^{2}}+2+1}$	19
${\displaystyle 3^{3^{3}}+3}$	7012762559748499000♠7625597484990
${\displaystyle 4^{4^{4}}+3}$	${\displaystyle \approx 1.3\times 10^{154}}$
${\displaystyle 5^{5^{5}}+2}$	${\displaystyle \approx 1.8\times 10^{2184}}$
${\displaystyle 6^{6^{6}}+1}$	${\displaystyle \approx 2.6\times 10^{36\,305}}$
${\displaystyle 7^{7^{7}}}$	${\displaystyle \approx 3.8\times 10^{695\,974}}$
${\displaystyle 8^{8^{8}}-1=7\cdot 8^{(7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7)}}$ ${\displaystyle +7\cdot 8^{(7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+6)}+\cdots }$ ${\displaystyle +7\cdot 8^{(8+2)}+7\cdot 8^{(8+1)}+7\cdot 8^{8}}$ ${\displaystyle +7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}}$ ${\displaystyle +7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7}$	${\displaystyle \approx 6\times 10^{15\,151\,335}}$
${\displaystyle 7\cdot 9^{(7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+7)}}$ ${\displaystyle +7\cdot 9^{(7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+6)}+\cdots }$ ${\displaystyle +7\cdot 9^{(9+2)}+7\cdot 9^{(9+1)}+7\cdot 9^{9}}$ ${\displaystyle +7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}}$ ${\displaystyle +7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+6}$	${\displaystyle \approx 4.3\times 10^{369\,693\,099}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$

儘管其成長如此迅速，古德斯坦定理說明了無論起始值為何，每個古德斯坦最終會終止於 0。

古德斯坦定理的證明（需要使用皮亞諾算術以外的技巧）如下： 對於每個給定的古德斯坦序列 G(m) ，我們可以建造一個由序數所組成的平行序列 P(m) ，而且是嚴格遞減和終止。所以G(m) 也必將停止，並且它只在達到 0 時才會終止。

對這個證明的常見的誤解在於認 G(m) 達到 0 是「因為」它被 P(m) 所支配。事實是，P(m) 對支配 G(m) 毫無作用。其重點在於： G(m)(k) 存在當且僅當 P(m)(k) 存在。於是，如果 P(m) 終止，則 G(m) 也如此。而 G(m) 只有在到逹 0 時才會終止。

我們可以定義函數 f(x)，將 x 改為以k為基底的表示法，並將每個 k 換成第一個無窮序数 ω。 而序列 P(m) 中的每一項 P(m)(n) 則定義為 f(G(m)(n),n+1)。譬如，G(3)(1) = 3 = 2¹ + 2⁰ 和 P(3)(1) = f(2¹ + 2⁰,2) = ω¹ + ω⁰ = ω + 1 。序數的加法、乘法和指數都是良好定義的。

我們可聲明 ${\displaystyle f(G(m)(n),n+1)>f(G(m)(n+1),n+2)}$ 。在古德斯坦序列中，將 G(m)(n) 改換基底後，將其記為 ${\displaystyle G'(m)(n)}$ 。明顯的，${\displaystyle f(G(m)(n),n+1)=f(G'(m)(n),n+2)}$ ，現在我們套用 -1 運算後，因為 ${\displaystyle G'(m)(n)=G(m)(n+1)+1}$，所以 ${\displaystyle f(G'(m)(n),n+2)>f(G(m)(n+1),n+2)}$。

譬如， ${\displaystyle G(4)(1)=2^{2}}$ 乃 ${\displaystyle G(4,2)=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2}$，所以 ${\displaystyle f(2^{2},2)=\omega ^{\omega }}$ 和 ${\displaystyle f(2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2,3)=2\omega ^{2}+2\omega +2}$ 是嚴格變小。需注意的是，若要計算 f(G(m)(n),n+1) ，我們要先將 G(m)(n) 改為以 n+1 為基底的表示法。所以如 ${\displaystyle \omega ^{\omega }-1}$ 等的表示式，既不會是無意義的也非等同 ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ 。

P(m) 是嚴格遞減的。而標準排序運算元 < 在序數上是良基关系，一個無窮的嚴格遞減序列是不可能存在的。換句話說，每個嚴格遞減的序數序列會停止（不可能無限）。但P(m)(n) 是由 G(m)(n) 計算出來的。 G(m)(n) 也必然停止，這意味著它會達到 0 。

雖然這個證明相當簡單，但柯比-柏麗斯定理[1] （證明了在皮亞諾算術中不會有古德斯坦定理）則是非常專門且相當困難。它使用了皮亞諾算術中的可數非標準模型。

假設古德斯坦定理的定義中的「將b改為b+1」的這個動作，將它改為 b+2，那麼這個序列會終止嗎？ 更一般地，讓 b₁, b₂, b₃, … 為任意整數列，然後讓第 n+1 項的 G(m)(n+1) 變成： 將 G(m)(n) 改為 b_n 的表示法，將 b_n 改為 b_n+1 再減 1 。 我們仍可斷言這個序列仍會終止。 擴展的證明則將 P(m)(n) = f(G(m)(n), n) 定義為如下： 將 G(m)(n) 改為 b_n 表示法，再將所有的 b_n 改為第一個無限序数 ω。 古德斯坦序列中，從G(m)(n)到G(m)(n+1)的換底運算並不會改變 f 的值。 譬如，如果 b_n = 4 且 b_n+1 = 9， 則 ${\displaystyle f(3\cdot 4^{4^{4}}+4,4)=3\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega =f(3\cdot 9^{9^{9}}+9,9)}$。因此，序數 ${\displaystyle f(3\cdot 4^{4^{4}}+4,4)}$ 是 嚴格大於序數 ${\displaystyle f((3\cdot 9^{9^{9}}+9)-1,9)}$。

古德斯坦函數 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(n)}$ 定義為由 n 為起始值的古德斯坦序列的長度。因為古德斯坦序列會終止，所以這是一個完全函數。要測定 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ 的快速成長，可由多種藉由標準基於序數體系中的函數，如Hardy hierarchy 中的 ${\displaystyle H_{\alpha }}$ 函數，和 Löb and Wainer 的 高成長體系 ${\displaystyle f_{\alpha }}$ 函數。

• Kirby and Paris (1982) 證明

${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ 有著和 ${\displaystyle H_{\epsilon _{0}}}$ 近似的成長速度（等同於 ${\displaystyle f_{\epsilon _{0}}}$）; 更精確地說，對每個 ${\displaystyle \alpha <\epsilon _{0}}$，${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ 控制 ${\displaystyle H_{\alpha }}$，且 ${\displaystyle H_{\epsilon _{0}}}$ 控制 ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,\!}$。

(對兩個函數 ${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$，我們說 ${\displaystyle f}$ 控制 ${\displaystyle g}$ 是指，如果對於所有足夠大的 ${\displaystyle n}$ ，都有 ${\displaystyle f(n)>g(n)}$。）

• Cichon (1983) 證明

${\displaystyle {\mathcal {G}}(n)=H_{R_{2}^{\omega }(n+1)}(1)-1,}$

其中 ${\displaystyle R_{2}^{\omega }(n)}$ 是將 n 改為以 2 為基底的瓜瓞式表示法，並將所有 2 改為 ω 的結果（即古德斯坦定理的證明中所做的事）。

• Caicedo (2007) 證明如果 ${\displaystyle n=2^{m_{1}}+2^{m_{2}}+\cdots +2^{m_{k}}}$ 且有 ${\displaystyle m_{1}>m_{2}>\cdots >m_{k},}$ then

${\displaystyle {\mathcal {G}}(n)=f_{R_{2}^{\omega }(m_{1})}(f_{R_{2}^{\omega }(m_{2})}(\cdots (f_{R_{2}^{\omega }(m_{k})}(3))\cdots ))-2}$.

一些例子如下：

n			${\displaystyle {\mathcal {G}}(n)}$
1	${\displaystyle 2^{0}}$	${\displaystyle 2-1}$	${\displaystyle H_{\omega }(1)-1}$	${\displaystyle f_{0}(3)-2}$	2
2	${\displaystyle 2^{1}}$	${\displaystyle 2^{1}+1-1}$	${\displaystyle H_{\omega +1}(1)-1}$	${\displaystyle f_{1}(3)-2}$	4
3	${\displaystyle 2^{1}+2^{0}}$	${\displaystyle 2^{2}-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega }}(1)-1}$	${\displaystyle f_{1}(f_{0}(3))-2}$	6
4	${\displaystyle 2^{2}}$	${\displaystyle 2^{2}+1-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega }+1}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega }(3)-2}$	3·2402653211 − 2 ≈ 6.895080803×10121210694
5	${\displaystyle 2^{2}+2^{0}}$	${\displaystyle 2^{2}+2-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega }+\omega }(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega }(f_{0}(3))-2}$	> A(4,4)>${\displaystyle {10^{10^{10^{19728}}}}}$
6	${\displaystyle 2^{2}+2^{1}}$	${\displaystyle 2^{2}+2+1-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega }+\omega +1}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega }(f_{1}(3))-2}$	> A(6,6)
7	${\displaystyle 2^{2}+2^{1}+2^{0}}$	${\displaystyle 2^{2+1}-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega +1}}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega }(f_{1}(f_{0}(3)))-2}$	> A(8,8)
8	${\displaystyle 2^{2+1}}$	${\displaystyle 2^{2+1}+1-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega +1}+1}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega +1}(3)-2}$	> A3(3,3) = A(A(61, 61), A(61, 61))
${\displaystyle \vdots }$
12	${\displaystyle 2^{2+1}+2^{2}}$	${\displaystyle 2^{2+1}+2^{2}+1-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega +1}+\omega ^{\omega }+1}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega +1}(f_{\omega }(3))-2}$	> fω+1(64) > 葛立恆數
${\displaystyle \vdots }$
19	${\displaystyle 2^{2^{2}}+2^{1}+2^{0}}$	${\displaystyle 2^{2^{2}}+2^{2}-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega ^{\omega }}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega }}(f_{1}(f_{0}(3)))-2}$

（對於阿克曼函數和葛立恆數的界限，請參考高成長體系。）

古德斯坦定理可用於構造一個全可计算函数，但皮亞諾算術卻不能證明它是全函數。图灵机可以有效地列舉古德斯坦序列；所以存在一個特殊的圖靈機來計算古德斯坦函數。這個圖靈機只需列舉出 n 的古德斯坦序列，並在遇到 0 時結束，並傳回其長度。因為每個古德斯坦序列終將結束，所以這個函數是完全的。但因為皮亞諾算術不能證明古德斯坦序列會終止，皮亞諾算術不能證明這個圖靈機計算了一個完全函數。

• Non-standard model of arithmetic
• 高成長體系
• Paris–Harrington theorem
• Kanamori–McAloon theorem
• Kruskal's tree theorem

• Goodstein, R., , Journal of Symbolic Logic, 1944, 9 (2): 33–41, JSTOR 2268019, doi:10.2307/2268019.
• Cichon, E., , Proceedings of the American Mathematical Society, 1983, 87 (4): 704–706, JSTOR 2043364, doi:10.2307/2043364.
• Caicedo, A., (PDF), Revista Colombiana de Matemáticas, 2007, 41 (2): 381–391 [2019-02-20], （原始内容存档 (PDF)于2011-10-09）.

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Some elements of a proof that Goodstein's theorem is not a theorem of PA, from an undergraduate thesis by Justin T Miller（页面存档备份，存于）
• A Classification of non standard models of Peano Arithmetic by Goodstein's theorem - Thesis by Dan Kaplan, Franklan and Marshall College Library
• Definitions of Goodstein sequences in the programming languages Ruby and Haskell, as well as a large-scale plot （页面存档备份，存于）
• The Hydra game implemented as a Java applet （页面存档备份，存于）
• Javascript implementation of a variant of the Hydra game （页面存档备份，存于）
• Goodstein Sequences: The Power of a Detour via Infinity（页面存档备份，存于） - 對古德斯坦序列和九頭蛇遊戲有很好的解譯。