可分離變數的偏微分方程

可分離變數的偏微分方程（PDE）是指一種偏微分方程，在求解時可以用分離變數法分離為一組階數較低的微分方程。這一般是因為偏微分方程滿足某種形式或是對稱。因此可以利用求解一組較簡單的偏微分方程來求解原問題，若可以簡化為一維的問題，甚至可以用變成常微分方程。

分離變數法最常見的形式是其解可以假設為幾個函數的積，而每個函數只有一個自變數。例如給予一個 $n$ 元函數 $F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})$ 的偏微分方程，猜想解答的形式為

F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})

。

這是一種特別的分離變數法，稱為 $R$ -分離變數法，此方式是將解寫成和座標有關的固定函數，以及以各座標為自變數函數的乘積。 ${\mathbb {R} }^{n}$ 上的拉普拉斯方程是一個可以用 $R$ -分離變數法求解的偏微分方程的例子，在三維空間下會用六維球面座標轉換來求解。

偏微分方程的分離變數法和常微分方程的分離變數法不同，後者是指問題可以變成二個積分相等的形式。

範例

例如，考慮非時變的薛丁格方程

[-\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )]\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )

針對函數 $\psi (\mathbf {x} )$ （為簡化問題，其為無因次量）（等效的作法是考慮非齊次的亥姆霍兹方程）。若三維函數 $V(\mathbf {x} )$ 形式如下

V(x_{1},x_{2},x_{3})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3}),

則此問題可以分解為三個一維的常微分方程，函數分別是 $\psi _{1}(x_{1})$ 、 $\psi _{2}(x_{2})$ 及 $\psi _{3}(x_{3})$ ，最後的解可以寫成 $\psi (\mathbf {x} )=\psi _{1}(x_{1})\cdot \psi _{2}(x_{2})\cdot \psi _{3}(x_{3})$ 。（薛丁格方程中可以分離變數求解的例子已由艾森哈特（Eisenhart）在1948年列舉[1]）。

參考資料

L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," Phys. Rev. 74, 87-89 (1948).

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[1] L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," Phys. Rev. 74, 87-89 (1948).