可加性

一个函数f:A→B，其定义域A和陪域B上分别定义了某种加法${\displaystyle +_{A}}$和${\displaystyle +_{B}}$。若该函数满足：∀x,y∈A，有${\displaystyle f(x+_{A}y)=f(x)+_{B}f(y)}$。则称f对于${\displaystyle +_{A}}$和${\displaystyle +_{B}}$满足可加性。在上下文对于${\displaystyle +_{A}}$和${\displaystyle +_{B}}$都很明确的情况下，通常简称为 f 满足可加性，亦称f为可加函数。

若上述函数f满足：∀有限集${\displaystyle \{x_{i}|x_{i}\in A,i=1\cdots n\}}$，有${\displaystyle f\left(\sum _{k=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}f(x_{i})}$，则称f满足有限可加性。

若上述函数f满足：∀可列集${\displaystyle \{x_{i}|x_{i}\in A,i=1\cdots \infty \}}$，有${\displaystyle f\left(\sum _{k=1}^{\infty }x_{i}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }f(x_{i})}$，则称f满足可列可加性。

• 定积分的可加性：设 ${\displaystyle a\leqslant b\leqslant c}$，那么${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\operatorname {d} \!x+\int _{b}^{c}f(x)\operatorname {d} \!x=\int _{a}^{c}f(x)\operatorname {d} \!x}$——积分区间是可加的。
• 集函数的可加性：定义域为集类S，值域为[0, ∞]上的广义实值集函数f，若：
  • ${\displaystyle \forall A,B\in S}$，有${\displaystyle f(A\cup B)=f(A)+f(B)}$，则称f为可加的。
  • ${\displaystyle \forall {A_{i}}\in S,i=1\cdots n}$，有${\displaystyle f\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}f(A_{i})}$，则称f为有限可加的。
  • ${\displaystyle \forall {A_{i}}\in S,i=1\cdots \infty }$，有${\displaystyle f\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }f(A_{i})}$，则称f为可列可加的。