可辨识性

令 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 是正态位置尺度族:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}}\ {\Big |}\ \theta =(\mu ,\sigma ):\mu \in \mathbb {R} ,\,\sigma \!>0\ {\Big \}}.}$

那么

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{\theta _{1}}=f_{\theta _{2}}\\[6pt]\Longleftrightarrow {}&{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{1}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma _{1}^{2}}}(x-\mu _{1})^{2}\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma _{2}^{2}}}(x-\mu _{2})^{2}\right)\\[6pt]\Longleftrightarrow {}&{\frac {1}{\sigma _{1}^{2}}}(x-\mu _{1})^{2}+\ln \sigma _{1}={\frac {1}{\sigma _{2}^{2}}}(x-\mu _{2})^{2}+\ln \sigma _{2}\\[6pt]\Longleftrightarrow {}&x^{2}\left({\frac {1}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {1}{\sigma _{2}^{2}}}\right)-2x\left({\frac {\mu _{1}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)+\left({\frac {\mu _{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {\mu _{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}+\ln \sigma _{1}-\ln \sigma _{2}\right)=0\end{aligned}}}$

对于几乎所有的 x 只有当其所有系数都等于零，该公式为零，唯一可能的情况是|σ₁|=|σ₂|且 μ₁ = μ₂。 由于在尺度参数 σ 是限制大于零的，我们得出结论，该模型是可辨识的：ƒ_θ1 = ƒ_θ2 ⇔ θ₁ = θ₂。

令 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 为标准 线性回归模型：

${\displaystyle y=\beta 'x+\varepsilon ,\quad \mathrm {E} [\,\varepsilon \mid x\,]=0}$

(其中，'表示矩阵转置)。 参数 β 是可辨识的，当且仅当矩阵 ${\displaystyle \mathrm {E} [xx']}$ 是可逆的。 因此，这是该模型的可辨识条件。

假设 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 是经典的变量误差线性模型：

${\displaystyle {\begin{cases}y=\beta x^{*}+\varepsilon ,\\x=x^{*}+\eta ,\end{cases}}}$

其中，(ε,η,x*) 是联合正态独立随机变量，其期望为零，方差未知，只有变量(x,y)是观察到的。 那么这个模型是不可识别的，[4] 只有积βσ2_∗ (其中σ²_∗是差异的潜在回归量 x*)。这也是一个集合可识别的模式的例子：虽然确切的 β 值无法被学习到，我们可以保证，它一定在 (β_y,1÷β_x-y) 区间中的某处，其中， β_yx 是y关于x 的普通最小二乘法 回归的系数，并且 β_xy 也是 x 关于 y 的普通最小二乘法回归的系数。[5]

如果我们放弃正态假设并且要求 x* 不是正态分布，仅保留独立的条件 ε ⊥ η ⊥ x*，那么该模型成为可以识别的。[4]